Найдите наибольшее значение функции y = 3x⁵ - 20x³ - 54 на отрезке [-4;-1]

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 3x^5 - 20x^3 - 54 \) на отрезке \( [-4;-1] \) необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (3x^5 - 20x^3 - 54)' \)
2. \( y' = 15x^4 - 60x^2 \)
3. Приравняем производную к нулю: \( 15x^4 - 60x^2 = 0 \)
4. Вынесем общий множитель \( 15x^2 \): \( 15x^2(x^2 - 4) = 0 \)
5. Отсюда \( x^2 = 0 \) или \( x^2 - 4 = 0 \)
6. \( x = 0 \) или \( x = 2 \) или \( x = -2 \)
7. Теперь проверим, какие из этих критических точек попадают в заданный отрезок \( [-4;-1] \).
8. \( x = 0 \) не входит в отрезок.
9. \( x = 2 \) не входит в отрезок.
10. \( x = -2 \) входит в отрезок.
11. Вычислим значения функции в критической точке \( x = -2 \) и на концах отрезка \( x = -4 \) и \( x = -1 \):
12. При \( x = -4 \): \( y(-4) = 3(-4)^5 - 20(-4)^3 - 54 = 3(-1024) - 20(-64) - 54 = -3072 + 1280 - 54 = -1846 \)
13. При \( x = -2 \): \( y(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 - 54 = 3(-32) - 20(-8) - 54 = -96 + 160 - 54 = 10 \)
14. При \( x = -1 \): \( y(-1) = 3(-1)^5 - 20(-1)^3 - 54 = 3(-1) - 20(-1) - 54 = -3 + 20 - 54 = -37 \)

Сравнивая полученные значения ( -1846, 10, -37 ), видим, что наибольшее значение равно 10.

Ответ: 10