Найдите наибольшее значение функции y=-2x^2+8x+3 на отрезке [0;5].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = -2x^2 + 8x + 3 \) на отрезке \( [0;5] \), нужно:

1. Найти производную функции: \( y' = (-2x^2 + 8x + 3)' = -4x + 8 \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \( -4x + 8 = 0 \) \( \implies 4x = 8 \) \( \implies x = 2 \).
3. Проверить, принадлежит ли критическая точка отрезку \( [0;5] \). Точка \( x=2 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:
• При \( x = 0 \): \( y(0) = -2(0)^2 + 8(0) + 3 = 3 \)
• При \( x = 2 \): \( y(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 3 = -2(4) + 16 + 3 = -8 + 16 + 3 = 11 \)
• При \( x = 5 \): \( y(5) = -2(5)^2 + 8(5) + 3 = -2(25) + 40 + 3 = -50 + 40 + 3 = -7 \)
5. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее: \( 3, 11, -7 \). Наибольшее значение равно \( 11 \).

Ответ: 11