Найдите наибольшее значение функции f(x) = -x^3/3 + 3x + 17 на отрезке [8; 21].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю.

1. Найдём производную функции \( f(x) \):
   \( f'(x) = \left( -\frac{x^3}{3} + 3x + 17 \right)' = -\frac{3x^2}{3} + 3 = -x^2 + 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -x^2 + 3 = 0 \)
   \( x^2 = 3 \)
   \( x = \pm\sqrt{3} \)
3. Проверим, попадают ли найденные критические точки в заданный отрезок [8; 21].
   \( \sqrt{3} \approx 1.73 \), \( -\sqrt{3} \approx -1.73 \). Обе точки не входят в отрезок [8; 21].
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
• При \( x = 8 \):
  \( f(8) = -\frac{8^3}{3} + 3 \cdot 8 + 17 = -\frac{512}{3} + 24 + 17 = -170.67 + 41 = -129.67 \)
• При \( x = 21 \):
  \( f(21) = -\frac{21^3}{3} + 3 \cdot 21 + 17 = -\frac{9261}{3} + 63 + 17 = -3087 + 80 = -3007 \)
5. Сравним полученные значения. Наибольшее значение функции на отрезке [8; 21] равно -129.67.

Ответ: -129.67