Найдите наибольшее значение функции f(x)=(x-1)/(x+2) на отрезке [0;4].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( f(x) = \frac{x-1}{x+2} \) на отрезке \( [0;4] \) найдём производную функции и критические точки.

1. Находим производную:
   Используем правило дифференцирования частного: \( f'(x) = \frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} \)
   \( f'(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-1) · 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2} \)
2. Находим критические точки:
   Производная \( f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2} \) никогда не равна нулю, так как числитель (3) не равен нулю. Знаменатель не может быть равен нулю, значит \( x \neq -2 \). Точек, где производная равна нулю или не существует, внутри отрезка \( [0;4] \) нет.
3. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
   
   • На левом конце отрезка \( x = 0 \):
     \( f(0) = \frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \)
   • На правом конце отрезка \( x = 4 \):
     \( f(4) = \frac{4-1}{4+2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
4. Сравниваем значения:
   Сравнивая значения \( -0.5 \) и \( 0.5 \), видим, что наибольшее значение равно \( 0.5 \).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0;4] равно 1/2.