Найдите наибольшее значение функции f(x) = -\(\frac{2}{3}\)x^3 + 3x + 17 на отрезке [8; 21].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти значения функции в критических точках (если они попадают в отрезок) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:
   \( f'(x) = \left( -\frac{2}{3}x^3 + 3x + 17 \right)' = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 3 = -2x^2 + 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -2x^2 + 3 = 0 \)
   \( 2x^2 = 3 \)
   \( x^2 = \frac{3}{2} \)
   \( x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \)
3. Проверим, попадают ли критические точки в отрезок [8; 21].
   \( \sqrt{\frac{3}{2}} \approx \sqrt{1.5} \approx 1.22 \).
   Обе критические точки \( -1.22 \) и \( 1.22 \) не принадлежат отрезку [8; 21].
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   На концах отрезка: \( x=8 \) и \( x=21 \).
   Значение функции в точке \( x=8 \):
   \( f(8) = -\frac{2}{3}(8)^3 + 3(8) + 17 = -\frac{2}{3}(512) + 24 + 17 = -\frac{1024}{3} + 41 = \frac{-1024 + 123}{3} = -\frac{901}{3} \approx -300.33 \)
   Значение функции в точке \( x=21 \):
   \( f(21) = -\frac{2}{3}(21)^3 + 3(21) + 17 = -\frac{2}{3}(9261) + 63 + 17 = -2(3087) + 80 = -6174 + 80 = -6094 \)
5. Сравним полученные значения.
   \( f(8) = -\frac{901}{3} \)
   \( f(21) = -6094 \)
   Наибольшее значение — это наименее отрицательное число.
   \( -300.33 > -6094 \)

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [8; 21] равно -\(\frac{901}{3}\).