Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству \(\frac{x-2}{x+1} \le \frac{3}{4}\)

1. Перенесем все в левую часть: \(\frac{x-2}{x+1} - \frac{3}{4} \le 0\)
2. Приведем к общему знаменателю: \(\frac{4(x-2) - 3(x+1)}{4(x+1)} \le 0\)
3. Раскроем скобки: \(\frac{4x - 8 - 3x - 3}{4(x+1)} \le 0\)
4. Упростим: \(\frac{x - 11}{4(x+1)} \le 0\)
5. Найдем нули числителя и знаменателя: \(x = 11\) и \(x = -1\)
6. Определим знаки на интервалах:

        +                -                 +
--------------------(-)--------------------(+)
    <-6             -1               11           ->

Решением неравенства является интервал \((-1; 11]\). Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это 11.

Ответ: 11