Найдите, на каком расстоянии от пункта Б автобус догнал велосипедиста.

Решение:

График 1 (велосипедист) начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке (15, 180). Это означает, что велосипедист стартовал из пункта А (расстояние 0) и двигался к пункту Б (расстояние 180 км) в течение 15 часов. Скорость велосипедиста: \( v_1 = \frac{180 \text{ км}}{15 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч} \).

График 2 (автобус) начинается в точке (8, 180) и заканчивается в точке (15, 0), делая остановку. Это означает, что автобус стартовал из пункта Б (расстояние 180 км) в 8 часов утра и ехал к пункту А. По условию, автобус доехал до пункта А, сделал остановку на 3 часа, а затем поехал обратно. График 2 показывает движение автобуса от пункта Б к пункту А. На графике видно, что автобус достиг пункта А в момент времени около 10 часов (расстояние 0). Значит, на дорогу к пункту А он затратил 2 часа (10 - 8 = 2). Скорость автобуса на этом участке: \( v_{аб1} = \frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч} \).

После остановки на 3 часа (с 10 до 13 часов) автобус поехал обратно к пункту Б. Он двигался с той же скоростью 90 км/ч. График его движения должен начинаться с точки (13, 0) и заканчиваться в пункте Б. Нам нужно найти точку пересечения графиков 1 и 2, чтобы определить, где и когда автобус догнал велосипедиста.

Давайте уточним условия задачи: «Из пункта Б в направлении пункта А, расстояние между которыми равно 180 км, в 8 часов утра выехал велосипедист». Это противоречит дальнейшему тексту, где сказано, что «На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1», и этот график начинается с (0, 0) и идет до (15, 180). Исходя из графика, велосипедист выехал из пункта А (расстояние 0) в пункт Б (расстояние 180 км) и ехал 15 часов. Скорость велосипедиста: \( v_1 = \frac{180}{15} = 12 \text{ км/ч} \).

«а через некоторое время из пункта Б в том же направлении выехал автобус». График 2 показывает движение автобуса. Он выехал из пункта Б (расстояние 180 км) и движется к пункту А (расстояние 0). Точка начала движения автобуса (график 2) — (0, 180). На графике видно, что автобус достиг пункта А (расстояние 0) примерно в 10 часов. Время в пути до пункта А: 10 часов. Скорость автобуса: \( v_2 = \frac{180 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 18 \text{ км/ч} \).

«Доехав до пункта А, автобус сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно». То есть, автобус был в пункте А с 10 до 13 часов. После этого он поехал обратно к пункту Б со скоростью 18 км/ч. Его путь обратно будет описываться линией, начинающейся из точки (13, 0) и идущей в сторону увеличения расстояния от А.

Однако, на графике 2 показано, что автобус (линия 2) движется из пункта Б (180 км) в пункт А (0 км), встречая велосипедиста (линия 1) в точке пересечения. Точка пересечения графиков 1 и 2 — это момент, когда автобус догнал велосипедиста. График 1 (велосипедист): \( s_1(t) = 12t \). График 2 (автобус) движется из пункта Б (180 км) в пункт А (0 км). Если предположить, что автобус выехал одновременно с велосипедистом, то его скорость была бы \( v_2 = \frac{180}{t_{A}} \). По графику 2, автобус достиг пункта А в момент времени около 10 часов. Значит, \( v_2 = \frac{180}{10} = 18 \text{ км/ч} \). Скорость автобуса, когда он двигался из Б в А: \( s_2(t) = 180 - 18t \). Найдем точку пересечения: \( 12t = 180 - 18t \) → \( 30t = 180 \) → \( t = 6 \) часов. В этот момент расстояние от пункта А будет \( s_1(6) = 12 \times 6 = 72 \) км. Это расстояние от пункта А. Нам нужно расстояние от пункта Б. \( 180 - 72 = 108 \) км.

По условию, «Из пункта Б в направлении пункта А, расстояние между которыми равно 180 км, в 8 часов утра выехал велосипедист». Велосипедист едет из Б в А. Тогда график 1 должен начинаться с (8, 180) и идти к (8 + t_1, 0). График 2 — автобус, выехал позже из Б в А. На графике 1: начало (0,0), конец (15, 180). Это значит, что велосипедист ехал из А в Б. На графике 2: начало (0, 180), конец (10, 0). Это значит, что автобус ехал из Б в А. И они встретились. Это означает, что велосипедист ехал из А в Б, а автобус из Б в А. Пересечение графиков 1 и 2 — это момент, когда они встретились.

Из графика 1 (велосипедист):

• Старт: (0, 0)
• Финиш: (15, 180)
• Скорость велосипедиста: \( v_1 = \frac{180 \text{ км}}{15 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч} \).
• Уравнение движения: \( s_1(t) = 12t \) (где \( s \) — расстояние от пункта А).

Из графика 2 (автобус):

• Старт: (0, 180)
• Финиш (пункт А): (10, 0)
• Скорость автобуса: \( v_2 = \frac{180 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 18 \text{ км/ч} \).
• Уравнение движения: \( s_2(t) = 180 - 18t \) (где \( s \) — расстояние от пункта А).

Найдем точку пересечения (момент встречи):

Приравниваем уравнения движения:

\( s_1(t) = s_2(t) \)

\( 12t = 180 - 18t \)

\( 12t + 18t = 180 \)

\( 30t = 180 \)

\( t = \frac{180}{30} = 6 \text{ часов} \).

Найдем расстояние от пункта А в момент встречи:

\( s_1(6) = 12 \times 6 = 72 \text{ км} \).

Найдем расстояние от пункта Б в момент встречи:

\( 180 - s_1(6) = 180 - 72 = 108 \text{ км} \).

Ответ: 108 км.