633. Найдите корни уравнения: a) x²/x²+1 = 7x/x²+1 ; б) y²/y² - 6y = 4(3-2y)/y(6-y) ; в) x-2/x+2 = x+3/x-4 ; г) 8y-5/y = 9y/y+2 ; д) x²+3/x²+1 = 2; е) 3/x²+2 = 1/x ; ж) х + 2 = 15/4x+1 ; з) x²-5/x-1 = 7x+10/9.

Решение:

а) \[ \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1} \]

• Домножаем обе части на \[ x^2 + 1 \] (предполагая, что \[ x^2 + 1
  eq 0 \]):\[ x^2 = 7x \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 7x = 0 \]
• Выносим x за скобки:\[ x(x - 7) = 0 \]
• Корни уравнения: \[ x = 0 \] или \[ x = 7 \]

Ответ: \[ x = 0, 7 \]

б) \[ \frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)} \]

• Заметим, что \[ y^2 - 6y = y(y - 6) \], а \[ y(6-y) = -y(y-6) \].
• Перепишем уравнение:\[ \frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{4(3-2y)}{-y(y-6)} \]
• Умножаем обе части на \[ y(y-6) \] (при условии, что \[ y
  eq 0 \] и \[ y
  eq 6 \]):\[ y^2 = -4(3 - 2y) \]
• Раскрываем скобки:\[ y^2 = -12 + 8y \]
• Переносим все в одну сторону:\[ y^2 - 8y + 12 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
• Корни уравнения:\[ y_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \]\[ y_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]
• Так как \[ y
  eq 6 \], остается только один корень: \[ y = 2 \]

Ответ: \[ y = 2 \]

в) \[ \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4} \]

• Умножаем крест на крест (при условии, что \[ x
  eq -2 \] и \[ x
  eq 4 \]):\[ (x-2)(x-4) = (x+3)(x+2) \]
• Раскрываем скобки:\[ x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6 \]
• Упрощаем:\[ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ -6x + 8 - 5x - 6 = 0 \]\[ -11x + 2 = 0 \]
• Находим x:\[ x = \frac{2}{11} \]

Ответ: \[ x = \frac{2}{11} \]

г) \[ \frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2} \]

• Умножаем крест на крест (при условии, что \[ y
  eq 0 \] и \[ y
  eq -2 \]):\[ (8y-5)(y+2) = 9y^2 \]
• Раскрываем скобки:\[ 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ 8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = 0 \]\[ -y^2 + 11y - 10 = 0 \]
• Умножаем на -1:\[ y^2 - 11y + 10 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 \]
• Корни уравнения:\[ y_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10 \]\[ y_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = 1 \]

Ответ: \[ y = 1, 10 \]

д) \[ \frac{x^2+3}{x^2+1} = 2 \]

• Умножаем обе части на \[ x^2 + 1 \] (предполагая, что \[ x^2 + 1
  eq 0 \]):\[ x^2 + 3 = 2(x^2 + 1) \]
• Раскрываем скобки:\[ x^2 + 3 = 2x^2 + 2 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 + 3 - 2x^2 - 2 = 0 \]\[ -x^2 + 1 = 0 \]
• Решаем уравнение:\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm 1 \]

Ответ: \[ x = -1, 1 \]

е) \[ \frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x} \]

• Умножаем крест на крест (при условии, что \[ x
  eq 0 \]):\[ 3x = x^2 + 2 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
• Корни уравнения:\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Ответ: \[ x = 1, 2 \]

ж) \[ x + 2 = \frac{15}{4x+1} \]

• Умножаем обе части на \[ 4x + 1 \] (при условии, что \[ x
  eq -\frac{1}{4} \]):\[ (x + 2)(4x + 1) = 15 \]
• Раскрываем скобки:\[ 4x^2 + x + 8x + 2 = 15 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ 4x^2 + 9x + 2 - 15 = 0 \]\[ 4x^2 + 9x - 13 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 \]
• Корни уравнения:\[ x_1 = \frac{-9 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 17}{8} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-9 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 17}{8} = -\frac{13}{4} \]

Ответ: \[ x = 1, -\frac{13}{4} \]

з) \[ \frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9} \]

• Умножаем крест на крест (при условии, что \[ x
  eq 1 \]):\[ 9(x^2 - 5) = (7x + 10)(x - 1) \]
• Раскрываем скобки:\[ 9x^2 - 45 = 7x^2 - 7x + 10x - 10 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ 9x^2 - 45 - 7x^2 + 7x - 10x + 10 = 0 \]\[ 2x^2 - 3x - 35 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 \]
• Корни уравнения:\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 17}{4} = 5 \]\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 17}{4} = -\frac{7}{2} \]

Ответ: \[ x = 5, -\frac{7}{2} \]