Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика600. Найдите корни уравнения: a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\); б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}\); в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\); г) \(\frac{y-5}{y^2-6y} = \frac{5}{y^2-6y}\); д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}\); е) \(\frac{2y}{y+3} = \frac{2y}{y+3}\); ж) \(\frac{5y}{x^2-4} = \frac{y}{4x}\); з) \(\frac{1+x}{2x-5} = \frac{1-x}{x+5}\); и) \(\frac{x}{7-x} = \frac{x}{x^2+4x}\);
Ответ:
a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\)
ОДЗ: \(y
eq -3\)
При \(y
eq -3\) умножаем обе части уравнения на \(y+3\):
\[y^2 = y\]
\[y^2 - y = 0\]
\[y(y - 1) = 0\]
Следовательно, \(y = 0\) или \(y = 1\)
Ответ: 0; 1
б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}\)
ОДЗ: \(x^2
eq 4\), то есть \(x
eq \pm 2\)
При \(x
eq \pm 2\) умножаем обе части уравнения на \(x^2-4\):
\[x^2 = 5x - 6\]
\[x^2 - 5x + 6 = 0\]
Решаем квадратное уравнение:
\[(x-2)(x-3) = 0\]
Следовательно, \(x = 2\) или \(x = 3\)
Так как \(x
eq 2\), то \(x = 3\)
Ответ: 3
в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\)
ОДЗ: \(x
eq 2\)
При \(x
eq 2\) умножаем обе части уравнения на \(x-2\):
\[2x^2 = 7x - 6\]
\[2x^2 - 7x + 6 = 0\]
Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\]
\[x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2\]
\[x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2}\]
Так как \(x
eq 2\), то \(x = \frac{3}{2}\)
Ответ: \(\frac{3}{2}\)
г) \(\frac{y-5}{y^2-6y} = \frac{5}{y^2-6y}\)
ОДЗ: \(y^2 - 6y
eq 0\), то есть \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\)
При \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\) умножаем обе части уравнения на \(y^2-6y\):
\[y - 5 = 5\]
\[y = 10\]
Ответ: 10
д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}\)
ОДЗ: \(x
eq -7\) и \(x
eq 1\)
При \(x
eq -7\) и \(x
eq 1\) умножаем обе части уравнения на \((x+7)(x-1)\):
\[(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\]
\[2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\]
\[x^2 + 28x + 27 = 0\]
Решаем квадратное уравнение:
\[(x+1)(x+27) = 0\]
Следовательно, \(x = -1\) или \(x = -27\)
Ответ: -1; -27
e) \(\frac{2y}{y+3} = \frac{2y}{y+3}\)
ОДЗ: \(y
eq -3\)
При \(y
eq -3\) уравнение выполняется при любом значении \(y\)
Ответ: любое число, кроме -3
ж) \(\frac{5y}{x^2-4} = \frac{y}{4x}\)
ОДЗ: \(x
eq \pm 2\) и \(x
eq 0\)
При \(x
eq \pm 2\) и \(x
eq 0\) умножаем обе части уравнения на \(4x(x^2-4)\):
\[20xy = y(x^2-4)\]
\[20xy - y(x^2-4) = 0\]
\[y(20x - x^2 + 4) = 0\]
Следовательно, \(y = 0\) или \(x^2 - 20x - 4 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 400 + 16 = 416\]
\[x_1 = \frac{20 + \sqrt{416}}{2} = 10 + 2\sqrt{26}\]
\[x_2 = \frac{20 - \sqrt{416}}{2} = 10 - 2\sqrt{26}\]
Ответ: y = 0 или x = 10 ± 2\(\sqrt{26}\)
з) \(\frac{1+x}{2x-5} = \frac{1-x}{x+5}\)
ОДЗ: \(x
eq \frac{5}{2}\) и \(x
eq -5\)
При \(x
eq \frac{5}{2}\) и \(x
eq -5\) умножаем обе части уравнения на \((2x-5)(x+5)\):
\[(1+x)(x+5) = (1-x)(2x-5)\]
\[x^2 + 6x + 5 = -2x^2 + 7x + 5\]
\[3x^2 - x = 0\]
\[x(3x - 1) = 0\]
Следовательно, \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{3}\)
Ответ: 0; \(\frac{1}{3}\)
и) \(\frac{x}{7-x} = \frac{x}{x^2+4x}\)
ОДЗ: \(x
eq 7\) и \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\)
При \(x
eq 7\) и \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\) умножаем обе части уравнения на \((7-x)(x^2+4x)\):
\[x(x^2+4x) = x(7-x)\]
\[x^3 + 4x^2 = 7x - x^2\]
\[x^3 + 5x^2 - 7x = 0\]
\[x(x^2 + 5x - 7) = 0\]
Следовательно, \(x = 0\) или \(x^2 + 5x - 7 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 25 + 28 = 53\]
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{53}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{53}}{2}\]
Так как \(x
eq 0\), то \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2}\)
Ответ: \(\frac{-5 + \sqrt{53}}{2}; \frac{-5 - \sqrt{53}}{2}\)
