Найдите корни уравнения \(\sqrt{x^2 - 4x} = \sqrt{6 - 3x}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ x^2 - 4x = 6 - 3x \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 4x + 3x - 6 = 0 \]

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Проверим найденные корни в исходном уравнении:

Для \( x = 3 \):

\[ \sqrt{3^2 - 4 \cdot 3} = \sqrt{9 - 12} = \sqrt{-3} \]

Выражение под корнем отрицательное, значит, \( x = 3 \) не является решением.

Для \( x = -2 \):

\[ \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-2)} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} \]

И правая часть:

\[ \sqrt{6 - 3 \cdot (-2)} = \sqrt{6 + 6} = \sqrt{12} \]

Левая и правая части равны, значит, \( x = -2 \) является решением.

Ответ: -2.