Найдите корни уравнения sin 3x = cos 3x, принадлежащие отрезку [0;4].

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение: разделим обе части уравнения на cos 3x (при условии, что cos 3x ≠ 0):\(\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 1\) \(\tg 3x = 1\)
2. Решаем полученное уравнение:\(3x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}\)
3. Отбираем корни, принадлежащие отрезку [0; 4]:Нужно найти все целые n, для которых выполняется неравенство:\(0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \le 4\)Умножаем все части неравенства на \(\frac{12}{\pi}\):\(0 \le 1 + 4n \le \frac{48}{\pi}\)Приближенно \(\pi \approx 3.14\), поэтому \(\frac{48}{\pi} \approx 15.29\)\(0 \le 1 + 4n \le 15.29\)\( -1 \le 4n \le 14.29\)\( -0.25 \le n \le 3.57\)Таким образом, n может принимать значения: 0, 1, 2, 3.
4. Вычисляем корни:При n = 0: \(x = \frac{\pi}{12}\)При n = 1: \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\)При n = 2: \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}\)При n = 3: \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}; \frac{3\pi}{4}; \frac{13\pi}{12}\)