Найдите корни уравнения $$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} = 4x + 1.$$. Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Чтобы решить его, приведём обе части к общему знаменателю и избавимся от дроби.

1. Сначала перенесём все члены уравнения в левую часть: $$ \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} - (4x + 1) = 0 $$
2. Приведём к общему знаменателю \( x - 2 \): $$ \frac{2x^2 - 5x + 2 - (4x + 1)(x - 2)}{x - 2} = 0 $$
3. Раскроем скобки в числителе: $$ 2x^2 - 5x + 2 - (4x^2 - 8x + x - 2) = 0 $$ $$ 2x^2 - 5x + 2 - (4x^2 - 7x - 2) = 0 $$ $$ 2x^2 - 5x + 2 - 4x^2 + 7x + 2 = 0 $$
4. Приведём подобные слагаемые: $$ -2x^2 + 2x + 4 = 0 $$
5. Разделим всё уравнение на -2 для упрощения: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$
6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$
7. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$
8. Теперь проверим, не обращается ли знаменатель \( x - 2 \) в ноль при найденных значениях \( x \).
9. При \( x = 2 \): \( 2 - 2 = 0 \). Это значение является посторонним корнем, так как знаменатель обращается в ноль.
10. При \( x = -1 \): \( -1 - 2 = -3 \neq 0 \). Это значение является корнем уравнения.
11. По условию, если корней несколько, нужно указать больший. В данном случае у нас только один корень \( x = -1 \).

Ответ: -1.