Найдите корни квадратного уравнения: x² + 5x + √5 = 0

Решение:

Для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) воспользуемся формулой дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В данном уравнении \( x^2 + 5x + \sqrt{5} = 0 \) имеем:

• \( a = 1 \)
• \( b = 5 \)
• \( c = \sqrt{5} \)

Вычислим дискриминант:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = 25 - 4\sqrt{5} \]

Так как \( D > 0 \) (приблизительно \( 25 - 4 \times 2.236 = 25 - 8.944 = 16.056 > 0 \)), уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2} \]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2} \]

Примечание:

Точные значения корней выражены через квадратные корни. Если требуется численное значение, то:

\( \sqrt{25 - 4\sqrt{5}} \approx \sqrt{16.056} \approx 4.007 \)

\( x_1 \approx \frac{-5 + 4.007}{2} = \frac{-0.993}{2} \approx -0.4965 \)

\( x_2 \approx \frac{-5 - 4.007}{2} = \frac{-9.007}{2} \approx -4.5035 \)

Ответ: \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{25 - 4\sqrt{5}}}{2} \).