Найдите корень уравнения log₃ x + log₃(x − 2) = 2.

ОДЗ: \(x>0\) и \(x-2>0\), поэтому \(x>2\).

По свойству логарифмов:

\(\log_3 x+\log_3(x-2)=\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)\).

Тогда:

\(\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)=2\), значит \(x(x-2)=3^2=9\).

\(x^2-2x-9=0\).

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4+36}}{2}=1\pm\sqrt{10}\).

Условию \(x>2\) удовлетворяет только \(x=1+\sqrt{10}\).

Ответ: \(1+\sqrt{10}\).