Найдите корень уравнения log_3 x + log_3 (x-2) = 2.

Решение:

1. Объединим логарифмы по свойству \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b · c) \):
   \( \log_3 (x · (x-2)) = 2 \)
2. Переведём логарифмическое уравнение в показательное:
   \( x(x-2) = 3^2 \)
3. Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению:
   \( x^2 - 2x = 9 \)
   \( x^2 - 2x - 9 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · (-9) = 4 + 36 = 40 \)
5. Найдём корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10} \)
6. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10} \)
7. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): аргумент логарифма должен быть больше нуля.
   \( x > 0 \) и \( x-2 > 0 → x > 2 \)
8. Проверим найденные корни:
   \( 1 + \sqrt{10} ≈ 1 + 3.16 = 4.16 \). Это значение больше 2, поэтому подходит.
   \( 1 - \sqrt{10} ≈ 1 - 3.16 = -2.16 \). Это значение меньше 2, поэтому не подходит.

Ответ: 1 + √10