Найдите корень уравнения log_2(x-1)+log_2(x-3)=3.

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3 \) сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ:

• \( x-1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \)
• \( x-3 > 0 \) ⇒ \( x > 3 \)
• Совмещая оба условия, получаем \( x > 3 \).

Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\( \log_2((x-1)(x-3)) = 3 \)

Переведём логарифмическое уравнение в показательное, используя определение логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \):

\( (x-1)(x-3) = 2^3 \)

\( (x-1)(x-3) = 8 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 - 3x - x + 3 = 8 \)

\( x^2 - 4x + 3 = 8 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \)

\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Попробуем подобрать корни по теореме Виета: сумма корней равна 4, произведение — -5. Корнями являются \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).

Проверим корни по ОДЗ (\( x > 3 \)):

• \( x_1 = 5 \): \( 5 > 3 \). Этот корень подходит.
• \( x_2 = -1 \): \( -1 \ngtr 3 \). Этот корень не подходит.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \( x = 5 \).

Ответ: 5