Найдите корень уравнения 8^(9-x) = 64^x

Решение:

Перепишем уравнение, представив числа 8 и 64 как степени числа 2:

• \( 8 = 2^3 \)
• \( 64 = 2^6 \)

Подставим эти значения в исходное уравнение:

\[ (2^3)^{9-x} = (2^6)^x \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 2^{3 \cdot (9-x)} = 2^{6x} \]

Так как основания степеней равны (2), то равны и показатели степеней:

\[ 3 \cdot (9-x) = 6x \]

Раскроем скобки:

\[ 27 - 3x = 6x \]

Перенесем члены с 'x' в одну сторону:

\[ 27 = 6x + 3x \]

Сложим подобные члены:

\[ 27 = 9x \]

Найдем 'x', разделив обе части на 9:

\[ x = \frac{27}{9} \]

\( x = 3 \)

Ответ: 3