Найдите корень уравнения $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-6}=125$$.

Решим уравнение $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-6}=125$$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство отрицательной степени: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-6} = (5^{-1})^{x-6}=5^{-(x-6)}=5^{-x+6}$$

Преобразуем правую часть уравнения, представив число 125 в виде степени с основанием 5:

$$125 = 5^3$$

Исходное уравнение примет вид:

$$5^{-x+6}=5^3$$

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$$-x+6 = 3$$

Решим полученное линейное уравнение относительно x:

$$-x = 3-6$$ $$-x = -3$$ $$x = 3$$

Ответ: 3