Найдите: KN, ΜΕ, ΕΝ (∠K = 90°)

Решение:

• Шаг 1: Найдем KN, используя теорему Пифагора для треугольника MKN:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[MN^2 = MK^2 + KN^2\]

Подставим известные значения:

\[25^2 = 10^2 + KN^2\]

\[625 = 100 + KN^2\]

\[KN^2 = 625 - 100\]

\[KN^2 = 525\]

\[KN = \sqrt{525} = 5\sqrt{21}\]

• Шаг 2: Найдем ME, используя свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

\[ME = \frac{MK \cdot KN}{MN}\]

\[ME = \frac{10 \cdot 5\sqrt{21}}{25}\]

\[ME = \frac{50\sqrt{21}}{25}\]

\[ME = 2\sqrt{21}\]

• Шаг 3: Найдем EN. Сначала найдем NE:

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных исходному. Рассмотрим треугольники MKE и KEN. Они подобны, значит:

\[ME^2 = KE \cdot EN\]

Также, MKN подобен MKE, отсюда:

\[MK^2 = MN \cdot KE\]

Отсюда выразим KE:

\[KE = \frac{MK^2}{MN} = \frac{10^2}{25} = \frac{100}{25} = 4\]

Теперь, зная KE, можем найти EN, используя свойство высоты ME:

\[ME^2 = KE \cdot EN\]

\[(2\sqrt{21})^2 = 4 \cdot EN\]

\[4 \cdot 21 = 4 \cdot EN\]

\[84 = 4 \cdot EN\]

\[EN = \frac{84}{4} = 21\]

Ответ:

• KN = \( 5\sqrt{21} \)
• ME = \( 2\sqrt{21} \)
• EN = 21