Найдите k, чтобы lim f(x) = lim f(x) для f(x) = \(\begin{cases}\) kx + 1 & x < 2 \\ x^2 + 1 & x \(\ge\) 2 \(\end{cases}\)

Решение:

Для того чтобы односторонние пределы функции \( f(x) \) при \( x \to 2 \) были равны, необходимо, чтобы предел слева был равен пределу справа.

Найдем предел слева:

$$ \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = \lim_{x\to 2^{-}} (kx + 1) = k(2) + 1 = 2k + 1 $$

Найдем предел справа:

$$ \lim_{x\to 2^{+}} f(x) = \lim_{x\to 2^{+}} (x^2 + 1) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 $$

Приравняем пределы:

$$ 2k + 1 = 5 $$

Решим уравнение относительно \( k \):

$$ 2k = 5 - 1 $$$$ 2k = 4 $$$$ k = \frac{4}{2} $$$$ k = 2 $$

Ответ: 2