3. Найдите х, зная, что слагаемые в левой части уравнения составляют арифметическую прогрессию: a) 2 + 8 + 14 + ... + x = 184; б) 5 + 8 +11 + ... + x = 185. . Найдите х из уравнения, если известно, что показатели степеней

Ответ: a) x = 56; б) x = 56

Решение:

a) 2 + 8 + 14 + ... + x = 184

• Для начала определим разность арифметической прогрессии: d = 8 - 2 = 6.
• Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии, чтобы выразить x через первый член и разность: x = a₁ + (n - 1)d = 2 + (n - 1)6.
• Далее, найдем сумму n членов арифметической прогрессии: S = (a₁ + x)n / 2 = (2 + x)n / 2 = 184.
• Подставим x из первого уравнения во второе: (2 + 2 + (n - 1)6)n / 2 = 184.
• Упростим уравнение: (4 + 6n - 6)n / 2 = 184.
• Продолжим упрощение: (6n - 2)n = 368.
• Получаем квадратное уравнение: 6n² - 2n - 368 = 0.
• Разделим на 2: 3n² - n - 184 = 0.
• Решим квадратное уравнение: n = (1 ± √(1 + 4 * 3 * 184)) / 6 = (1 ± √2209) / 6 = (1 ± 47) / 6.
• Так как n должно быть положительным, берем n = (1 + 47) / 6 = 48 / 6 = 8.
• Теперь найдем x: x = 2 + (8 - 1)6 = 2 + 7 * 6 = 2 + 42 = 44.
• Проверим сумму: (2 + 44) * 8 / 2 = 46 * 4 = 184.

б) 5 + 8 + 11 + ... + x = 185

• Определим разность арифметической прогрессии: d = 8 - 5 = 3.
• Выразим x через первый член и разность: x = a₁ + (n - 1)d = 5 + (n - 1)3.
• Найдем сумму n членов арифметической прогрессии: S = (a₁ + x)n / 2 = (5 + x)n / 2 = 185.
• Подставим x из первого уравнения во второе: (5 + 5 + (n - 1)3)n / 2 = 185.
• Упростим уравнение: (10 + 3n - 3)n / 2 = 185.
• Продолжим упрощение: (3n + 7)n = 370.
• Получаем квадратное уравнение: 3n² + 7n - 370 = 0.
• Решим квадратное уравнение: n = (-7 ± √(49 + 4 * 3 * 370)) / 6 = (-7 ± √4489) / 6 = (-7 ± 67) / 6.
• Так как n должно быть положительным, берем n = (-7 + 67) / 6 = 60 / 6 = 10.
• Теперь найдем x: x = 5 + (10 - 1)3 = 5 + 9 * 3 = 5 + 27 = 32.
• Проверим сумму: (5 + 32) * 10 / 2 = 37 * 5 = 185.

Ответ: a) x = 44; б) x = 32