Найдите х, используя данные рисунка. 13) B X 30° C A 1 16 см A 14) C B F 18 см D 15) E D 60° 8 см B X X A 31° K L C

Задание 13

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, так как угол C равен 90 градусам. Угол A равен 30 градусам. Известно, что катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. В данном случае, BC = x, AC – гипотенуза.

Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. Он прямоугольный, так как угол C₁ равен 90 градусам. Угол B₁ равен 60 градусам. Значит, угол A₁ равен 30 градусам (90 - 60 = 30). Катет B₁C₁ = 8 см, A₁B₁ – гипотенуза, равная 16 см. Катет B₁C₁ равен половине гипотенузы, что подтверждает правило.

Так как треугольники подобны по двум углам (угол C = углу C₁ = 90, угол A = углу B₁ = 30), то их стороны пропорциональны. Следовательно, x / 8 = 16 / 8, откуда x = 8.

Задание 14

Треугольник ABC – прямоугольный, так как угол A равен 90 градусам. AD – высота, опущенная из вершины A на гипотенузу BC. Треугольник ABD подобен треугольнику ABC (по острому углу), значит, AB / BC = BD / AB. Известно, что AB = 18 см, BD = x, AC = 18. Тогда BC = BD + DC = x + x = 2x. Следовательно, 18 / 2x = x / 18, откуда 2x² = 18², x² = 18² / 2, x = 18 / √2 = 9√2.

Задание 15

Треугольники FKD и ELD равны по стороне (FD=DE, указано на рисунке) и двум прилежащим углам (∠KFD = ∠LED = 90°, ∠FDK = ∠EDL как вертикальные). Следовательно, KD = DL, а значит, треугольник KDL – равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠DKL = ∠DLK = x.

Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике KDL: ∠DKL + ∠DLK + ∠KDL = 180°. Угол ∠FDK = ∠EDL = 31°, а ∠KDL = ∠FDE = 180° - ∠FDK - ∠EDL = 180° - 31° - 31° = 118°.

Тогда x + x + 118° = 180°, 2x = 62°, x = 31°.