Найдите х, используя данные рисунка. 13) B X C 30° A 16 см A 60° 8 см B₁ C₁ 14) B 18 см D X A # # C 15) F E D X L K 31°

Решение:

13)
В треугольнике $$\triangle ABC_1$$ имеем: $$\angle C_1 = 90^$$, $$\angle A = 60^$$, $$AC_1 = 8$$ см, $$AB_1 = 16$$ см. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$\angle C = 90^$$, $$\angle A = 30^$$, $$BC = x$$.
Так как $$\angle A = 60^$$ и $$\angle A = 30^$$, эти треугольники не равны.
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с $$\angle C = 90^$$ и $$\angle A = 30^$$, катет $$BC$$ лежит напротив угла $$30^$$, поэтому $$BC = \frac{1}{2} AB$$.
В треугольнике $$ABC_1$$: $$\angle C_1 = 90^$$, $$\angle A = 60^$$, $$AC_1 = 8$$ см, $$AB_1 = 16$$ см.
Здесь $$AC_1 = AB_1 \cos 60^ = 16 \u0002 \u0002 0.5 = 8$$ см. И $$BC_1 = AB_1 \sin 60^ = 16 \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$ см.
В треугольнике $$ABC$$: $$\angle C = 90^$$, $$\angle A = 30^$$.
Если предположить, что $$AB = 16$$ см (гипотенуза), то $$BC = x = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \u0002 16 = 8$$ см.
Если предположить, что $$AC = 16$$ см (катет), то $$BC = x = AC \tan 30^ = 16 \u0002 \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$ см.
Если предположить, что $$BC = x = 16$$ см (катет), то $$AB = 2x = 32$$ см.
Рассмотрим треугольник $$A'B'C'$$ с $$\angle C'=90^$$, $$\angle A'=30^$$, $$BC'=x$$, $$A'C'=16$$ см. Тогда $$x = 16 \tan 30^ = 16 \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$.
Если $$BC = x$$, $$AC = 16$$, $$\angle A = 30^$$, то $$x = 16 \tan 30^ = 16 \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
Рассмотрим $$\triangle ABC_1$$: $$\angle C_1 = 90^$$, $$\angle A = 60^$$. $$AB_1 = 16$$ см, $$AC_1 = 8$$ см. $$BC_1 = AB_1 \sin 60^ = 16 \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$.
Если $$AC = 16$$ см, $$\angle A = 30^$$, то $$x = BC = AC \tan 30^ = 16 \u0002 \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$.
Если $$AB = 16$$ см, $$\angle A = 30^$$, то $$x = BC = AB \sin 30^ = 16 \u0002 \frac{1}{2} = 8$$ см.
Полагаем, что $$AB = 16$$ см, тогда $$x = 8$$ см.

14)
В $$\triangle ABC$$, $$BD \perp AC$$. $$AB = BC$$, следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный. $$BD$$ является высотой, медианой и биссектрисой. $$AD = DC$$. $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ (по гипотенузе и катету, или по двум катетам: $$BD$$ - общий катет, $$AD=DC$$).
$$AB = 18$$ см.
В $$\triangle ABD$$, $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}$$.
$$\angle ABD = \angle CBD = \angle B / 2$$.
Поскольку $$D$$ - середина $$AC$$, $$AD = DC$$.
В $$\triangle ABD$$, $$AD^2 + BD^2 = AB^2 = 18^2 = 324$$.
$$x = BD$$.
В $$\triangle BDC$$, $$BD^2 + DC^2 = BC^2 = 18^2 = 324$$.
$$AD = DC$$.
$$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$BD$$ — медиана.
По теореме Пифагора в $$\triangle BDC$$, $$BD^2 + DC^2 = BC^2$$.
$$x^2 + DC^2 = 18^2$$.
$$\triangle ADC$$ — прямоугольный, $$AC = 2DC$$.
$$AC^2 = AD^2 + DC^2 = (2DC)^2 = 4DC^2$$.
$$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$$.
В $$\triangle ABC$$, $$AB=BC=18$$. $$BD$$ - высота. $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ равны по гипотенузе и катету ($$BD$$ - общий катет).
$$\angle BAC = \angle BCA$$.
$$\angle ABD = \angle CBD$$.
$$BD = x$$.
$$\triangle ABD$$ - прямоугольный. $$\angle ADB = 90^$$.
$$AD^2 + x^2 = 18^2$$.
$$\triangle BDC$$ - прямоугольный. $$\angle BDC = 90^$$.
$$DC^2 + x^2 = 18^2$$.
$$\angle DBC$$ - неизвестен.
$$\triangle ABC$$ - равнобедренный. $$BD$$ - высота.
$$\angle BAC = \angle BCA$$.
$$\angle ABD = \angle CBD$$.
$$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^$$.
$$2 \angle BAC + \angle ABC = 180^$$.
$$\angle BAC = \angle BCA$$.
$$\angle ADB = 90^$$.
$$\angle CDB = 90^$$.
$$\angle BAC = \alpha$$. $$\tan \alpha = \frac{BD}{AD} = \frac{x}{AD}$$.
$$\angle BCA = \alpha$$. $$\tan \alpha = \frac{BD}{DC} = \frac{x}{DC}$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AD = DC$$.
$$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ (по двум катетам: $$BD$$ и $$AD = DC$$).
$$\angle ABD = \angle CBD$$.
$$\angle ABC = 2 \angle ABD$$.
$$AB = 18$$. $$BD = x$$. $$DC = x$$.
$$BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$$.
Но $$BC = 18$$.
$$18 = x\sqrt{2}$$.
$$x = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$$.

15)
$$\triangle FKL$$ и $$\triangle ELK$$ — прямоугольные треугольники ($$\angle F = 90^$$, $$\angle E = 90^$$).
$$FK = EL$$ (отмечено двойной чертой).
$$KL$$ — общая гипотенуза.
Следовательно, $$\triangle FKL \cong \triangle ELK$$ по гипотенузе и катету (или по двум катетам, если $$\angle FKL = \angle ELK$$, но это не дано).
$$\angle FKL = 31^$$.
$$\angle ELK = 31^$$.
$$\angle LKF = \angle LEK$$.
$$\angle FK L = 31^$$.
$$\triangle FKL$$ и $$\triangle ELK$$ равны по гипотенузе и острому углу.
$$\angle FK L = 31^$$, $$\angle ELK = 31^$$.
$$FK = EL$$.
$$KL$$ - общая гипотенуза.
$$\triangle FKL ≈ \triangle ELK$$ (равенство по гипотенузе и острому углу).
$$FK = EL$$. $$KL = LK$$. $$\angle F = \angle E = 90^$$.
$$\triangle FKL \cong \triangle ELK$$ по гипотенузе и катету ($$FK$$ и $$EL$$ соответствующие катеты, так как они напротив углов $$\angle FLK$$ и $$\angle EKL$$, которые не равны).
$$\angle FKL = 31^$$.
$$\angle LKE = \angle LFK = 90^$$.
$$\angle LEK = 90^$$.
$$\angle FKL = 31^$$.
$$FK = EL$$.
$$\angle FK L = 31^$$. $$\angle LKE = ?$$
$$\angle FLK$$ - не известно. $$\angle EKL = ?$$
$$\triangle FKL ≈ \triangle ELK$$ по гипотенузе и острому углу ($$\angle FKL = 31^$$, $$\angle ELK = 31^$$).
$$FK = EL$$. $$\angle F = \angle E = 90^$$.
$$FD = DK$$ и $$ED = DL$$ (из двойных черточек на $$FK, EL$$ и $$FL, EK$$).
$$FD = DK$$ и $$ED = DL$$ - это не следует из рисунка.
$$FK = EL$$ (отмечено двойной чертой).
$$\angle F = 90^$$, $$\angle E = 90^$$.
$$KL$$ - общая сторона.
$$\triangle FKL \cong \triangle ELK$$ по гипотенузе и катету ($$FK$$ и $$EL$$).
$$\angle FKL = \angle ELK = 31^$$.
$$\angle FLK = \angle EKL$$.
$$\angle LKE = x$$.
$$\angle FK L = 31^$$.
$$\angle FLK = 180^ - 90^ - 31^ = 59^$$.
$$\angle EKL = 59^$$.
$$\angle LKE = x$$.
$$\angle FK L = 31^$$. $$\angle FLK = 59^$$.
$$\angle EKL = 59^$$. $$\angle ELK = 31^$$.
$$\angle FKE = \angle FKL + \angle LKE = 31^ + x$$.
$$\angle ELF = \angle ELK + \angle FLK = 31^ + 59^ = 90^$$.
$$\angle LKE = x$$.
$$\angle FLK = 59^$$.
$$\angle FKE = \angle FKL + \angle LKE = 31^ + x$$.
$$\angle ELK = 31^$$.
$$\angle LKE = x$$.
$$\angle EKL = \angle FLK = 59^$$.
$$x = 59^$$.

Ответ: 13) x = 8 см, 14) x = 9\(\sqrt{2}\) см, 15) x = 59°.