Найдите f'(0), если f(x) = g(x) / s(x), g(x) = 3x - x^2, s(x) = e^x + 2 cos x

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\( f'(x) = \frac{g'(x)s(x) - g(x)s'(x)}{(s(x))^2} \)

Сначала найдём производные функций \( g(x) \) и \( s(x) \):

\( g(x) = 3x - x^2 \)

\( g'(x) = 3 - 2x \)

\( s(x) = e^x + 2 \cos x \)

\( s'(x) = e^x - 2 \sin x \)

Теперь подставим эти производные в формулу для \( f'(x) \):

\( f'(x) = \frac{(3 - 2x)(e^x + 2 \cos x) - (3x - x^2)(e^x - 2 \sin x)}{(e^x + 2 \cos x)^2} \)

Нам нужно найти \( f'(0) \). Подставим \( x = 0 \) в полученное выражение:

\( g(0) = 3(0) - 0^2 = 0 \)

\( g'(0) = 3 - 2(0) = 3 \)

\( s(0) = e^0 + 2 \cos 0 = 1 + 2(1) = 3 \)

\( s'(0) = e^0 - 2 \sin 0 = 1 - 2(0) = 1 \)

Теперь подставим эти значения в формулу для \( f'(0) \):

\( f'(0) = \frac{g'(0)s(0) - g(0)s'(0)}{(s(0))^2} = \frac{3 " 3 - 0 " 1}{(3)^2} \)

\( f'(0) = \frac{9 - 0}{9} = \frac{9}{9} = 1 \)

Ответ: 1