Найдите dy/dx: x^2 + xy + y^2 = 16

Решение:

Для нахождения \( \frac{dy}{dx} \) продифференцируем обе части уравнения по \( x \), учитывая, что \( y \) является функцией от \( x \).

1. Дифференцируем \( x^2 \): \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)
2. Дифференцируем \( xy \) с использованием правила произведения: \( \frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx} \)
3. Дифференцируем \( y^2 \): \( \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} \)
4. Дифференцируем константу 16: \( \frac{d}{dx}(16) = 0 \)
5. Собираем все вместе: \( 2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \)
6. Группируем члены, содержащие \( \frac{dy}{dx} \): \( x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -2x - y \)
7. Выносим \( \frac{dy}{dx} \) за скобки: \( \frac{dy}{dx}(x + 2y) = -2x - y \)
8. Выражаем \( \frac{dy}{dx} \): \( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{x + 2y} \)

Ответ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{x + 2y} \).