Контрольные задания > 1. Найдите двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату. 2. Существует ли такое трёхзначное число авс, что сумма abc + cab + bca является точным квадратом? 3. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров, каждая команда сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, пока не сыгравшие между собой ни одного матча. 4. По кругу выстроены 20 чисел, причем, сумма любых трёх стоящих подряд равна нулю. Найдите эти числа. 5. Вычислите углы треугольника, в котором медиана и высота проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части.
Вопрос:

1. Найдите двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату. 2. Существует ли такое трёхзначное число авс, что сумма abc + cab + bca является точным квадратом? 3. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров, каждая команда сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, пока не сыгравшие между собой ни одного матча. 4. По кругу выстроены 20 чисел, причем, сумма любых трёх стоящих подряд равна нулю. Найдите эти числа. 5. Вычислите углы треугольника, в котором медиана и высота проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части.

Ответ:

  1. Пусть двузначное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ — цифры от 0 до 9, причем $$a eq 0$$. По условию, $$(a+b)^3 = (10a+b)^2$$. Так как $$(a+b)$$ — целое число, то $$10a+b$$ должно быть полным кубом. Двузначные числа, являющиеся полными кубами: 27 и 64.

    • Если $$10a+b=27$$, то $$a=2, b=7$$. Тогда $$(a+b)^3 = (2+7)^3 = 9^3 = 729$$, а $$(10a+b)^2 = 27^2 = 729$$. Значит, число 27 подходит.
    • Если $$10a+b=64$$, то $$a=6, b=4$$. Тогда $$(a+b)^3 = (6+4)^3 = 10^3 = 1000$$, а $$(10a+b)^2 = 64^2 = 4096$$. Значит, число 64 не подходит.

    Ответ: 27.

  2. Пусть трехзначное число равно $$100a + 10b + c$$. Тогда

    $$abc = 100a + 10b + c$$ $$cab = 100c + 10a + b$$ $$bca = 100b + 10c + a$$

    Сумма:

    $$abc + cab + bca = 100a + 10b + c + 100c + 10a + b + 100b + 10c + a = 111a + 111b + 111c = 111(a+b+c) = 3 cdot 37 (a+b+c)$$

    Для того, чтобы это число было точным квадратом, необходимо, чтобы $$(a+b+c)$$ делилось на 3 и на 37. Так как a, b, c - цифры, то $$a+b+c$$ не может быть больше, чем $$9+9+9 = 27$$. Следовательно, сумма $$a+b+c$$ не может делиться на 37. Значит, не существует такого трехзначного числа.

    Ответ: не существует.

  3. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров, каждая команда сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, пока не сыгравшие между собой ни одного матча.

    Доказательство:

    Рассмотрим произвольную команду A. Она сыграла с 8 командами. Осталось 19 - 8 - 1 = 10 команд, с которыми она не играла.

    Возьмем любую из этих 10 команд, команду B. Она сыграла с 8 командами. Даже если все эти 8 команд входят в число 10 команд, не игравших с командой A, то остается 10 - 8 - 1 = 1 команда C, которая не играла ни с командой A, ни с командой B.

    Таким образом, команды A, B и C не играли между собой.

    Что и требовалось доказать.

  4. По кругу выстроены 20 чисел, причем сумма любых трёх стоящих подряд равна нулю. Найдите эти числа.

    Решение:

    Пусть числа, стоящие по кругу: $$a_1, a_2, ..., a_{20}$$. Из условия задачи следует, что

    $$a_1 + a_2 + a_3 = 0$$ $$a_2 + a_3 + a_4 = 0$$

    Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

    $$a_4 - a_1 = 0 Rightarrow a_4 = a_1$$

    Таким образом, последовательность чисел имеет период 3. То есть,

    $$a_1 = a_4 = a_7 = a_{10} = a_{13} = a_{16} = a_{19}$$ $$a_2 = a_5 = a_8 = a_{11} = a_{14} = a_{17} = a_{20}$$ $$a_3 = a_6 = a_9 = a_{12} = a_{15} = a_{18}$$

    Пусть $$a_1 = x, a_2 = y, a_3 = z$$. Тогда $$x + y + z = 0$$.

    Например, если $$x = 1, y = 1$$, то $$z = -2$$. Таким образом, числа по кругу будут: 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1, -2, 1, 1.

    Другой пример, если $$x = 0, y = 0$$, то $$z = 0$$. Таким образом, все числа равны 0.

    Ответ: последовательность чисел имеет период 3, и сумма любых трех подряд идущих чисел равна 0. Примеры: 1, 1, -2, ..., 0, 0, 0, ...

  5. Вычислите углы треугольника, в котором медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части.

    Решение:

    Пусть треугольник ABC, в котором медиана BD и высота BE делят угол B на три равные части. То есть, $$angle ABE = angle EBD = angle DBC = x$$

    Тогда $$angle ABC = 3x$$

    Так как BE - высота, то $$angle BEA = 90^circ$$. Рассмотрим треугольник BDE. $$angle BED = 90^circ$$.

    В треугольнике ABD медиана BD равна половине стороны AC, к которой она проведена. Следовательно, AD = DC = BD. Значит, треугольник BDC - равнобедренный, и $$angle DBC = angle DCB = x$$.

    Рассмотрим треугольник ABC. $$angle BAC + angle ABC + angle BCA = 180^circ$$

    $$angle BAC + 3x + x = 180^circ$$

    $$angle BAC = 180^circ - 4x$$

    В прямоугольном треугольнике ABE: $$angle BAC = 90^circ - x$$

    Получаем уравнение: $$180^circ - 4x = 90^circ - x$$

    $$3x = 90^circ$$

    $$x = 30^circ$$

    Тогда $$angle ABC = 3x = 3 cdot 30^circ = 90^circ$$

    $$angle BCA = x = 30^circ$$

    $$angle BAC = 90^circ - x = 90^circ - 30^circ = 60^circ$$

    Ответ: углы треугольника равны 60°, 90° и 30°.

Смотреть решения всех заданий с листа