Найдите два положительных числа, сумма которых равна 86, а произведение максимально. Чему равно максимальное произведение?

Решение:

Пусть два положительных числа будут \( x \) и \( y \).

По условию задачи, их сумма равна 86: \( x + y = 86 \).

Из этого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \( y = 86 - x \).

Произведение этих чисел равно \( P = x \cdot y \). Подставим выражение для \( y \):

\( P(x) = x(86 - x) = 86x - x^2 \).

Чтобы найти максимальное произведение, нужно найти максимум функции \( P(x) \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине.

Для нахождения вершины можно использовать производную:

\( P'(x) = 86 - 2x \).

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 86 - 2x = 0 \)
\( 2x = 86 \)
\( x = 43 \).

Когда \( x = 43 \), то \( y = 86 - 43 = 43 \).

Таким образом, два положительных числа — это 43 и 43.

Максимальное произведение равно:

\( P = 43 \cdot 43 = 1849 \).

Ответ: 1849