Найдите длину отрезка АС, если ∠A = 2∠B, AB – AC = 15.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть ∠B = $$x$$, тогда ∠A = $$2x$$. Так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, то ∠C = $$180^{\circ} - 3x$$.

По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$$

$$\frac{AB}{AC} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin (180^{\circ} - 3x)}{\sin x} = \frac{\sin 3x}{\sin x}$$

$$\frac{AB}{AC} = \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} = 3 - 4\sin^2 x$$

Используем, что $$AB = AC + 15$$. Тогда $$\frac{AC + 15}{AC} = 3 - 4\sin^2 x$$

$$1 + \frac{15}{AC} = 3 - 4\sin^2 x$$

$$\frac{15}{AC} = 2 - 4\sin^2 x$$

$$AC = \frac{15}{2 - 4\sin^2 x}$$

На рисунке видно, что треугольник ABC - прямоугольный, а ∠C = $$90^{\circ}$$.

Следовательно, $$180^{\circ} - 3x = 90^{\circ}$$, откуда $$3x = 90^{\circ}$$ и $$x = 30^{\circ}$$.

Подставим $$x = 30^{\circ}$$ в выражение для $$AC$$:

$$AC = \frac{15}{2 - 4\sin^2 30^{\circ}} = \frac{15}{2 - 4 \cdot (\frac{1}{2})^2} = \frac{15}{2 - 4 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{15}{2 - 1} = \frac{15}{1} = 15$$

Ответ: 15