1105 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со сто- роной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотену- зой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании с и высотой п, проведённой к основанию.

Решение:

a) Длина окружности, вписанной в квадрат со стороной a:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: $$r = \frac{a}{2}$$

Длина окружности вычисляется по формуле: $$C = 2\pi r$$

Подставляем значение радиуса: $$C = 2\pi \frac{a}{2} = \pi a$$

б) Длина окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой c:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и их можно найти, используя теорему Пифагора: $$a^2 + a^2 = c^2$$

$$2a^2 = c^2$$

$$a = \frac{c}{\sqrt{2}}$$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике a = b, поэтому: $$r = \frac{2a - c}{2}$$

Подставляем значение a: $$r = \frac{2(\frac{c}{\sqrt{2}}) - c}{2} = \frac{\frac{2c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2}$$

Длина окружности: $$C = 2\pi r = 2\pi \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2} = \pi c(\sqrt{2} - 1)$$

в) Длина окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α:

Пусть a и b - катеты треугольника. Тогда: $$a = c \cdot sin(\alpha)$$, $$b = c \cdot cos(\alpha)$$

Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{c \cdot sin(\alpha) + c \cdot cos(\alpha) - c}{2} = \frac{c(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1)}{2}$$

Длина окружности: $$C = 2\pi r = 2\pi \frac{c(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1)}{2} = \pi c(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1)$$

г) Длина окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию:

Обозначим основание равнобедренного треугольника как b, а боковые стороны как a. Тогда половина основания равна: $$\frac{b}{2} = h \cdot tg(\alpha)$$

$$b = 2h \cdot tg(\alpha)$$

Боковую сторону a можно найти из соотношения: $$cos(\alpha) = \frac{h}{a}$$

$$a = \frac{h}{\cos(\alpha)}$$

Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{2S}{a + a + b}$$, где S - площадь треугольника.

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2h \cdot tg(\alpha) \cdot h = h^2 \cdot tg(\alpha)$$

$$r = \frac{2h^2 \cdot tg(\alpha)}{\frac{2h}{\cos(\alpha)} + 2h \cdot tg(\alpha)} = \frac{2h^2 \cdot tg(\alpha)}{2h(\frac{1}{\cos(\alpha)} + tg(\alpha))} = \frac{h \cdot tg(\alpha)}{\frac{1}{\cos(\alpha)} + tg(\alpha)} = \frac{h \cdot tg(\alpha)}{\frac{1 + sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{h \cdot sin(\alpha)}{1 + sin(\alpha)}$$

Длина окружности: $$C = 2\pi r = 2\pi \frac{h \cdot sin(\alpha)}{1 + sin(\alpha)}$$

Ответ: а) $$\pi a$$, б) $$\pi c(\sqrt{2} - 1)$$, в) $$\pi c(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1)$$, г) $$2\pi \frac{h \cdot sin(\alpha)}{1 + sin(\alpha)}$$