Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина большей дуги равна разности полной окружности и длины меньшей дуги.

Сначала найдём длину всей окружности. Длина меньшей дуги AB равна 61, а центральный угол, опирающийся на неё, равен \( \angle AOB = 122^{\circ} \).

Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2 \pi R \).

Длина дуги равна \( L = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \), где \( \alpha \) — центральный угол в градусах.

Из условия имеем: \( 61 = \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \).

Теперь найдём длину большей дуги. Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен \( 360^{\circ} - 122^{\circ} = 238^{\circ} \).

Длина большей дуги \( L_{большая} = \frac{238^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \).

Мы можем заметить, что \( \frac{238^{\circ}}{360^{\circ}} \) — это \( \frac{360^{\circ} - 122^{\circ}}{360^{\circ}} = 1 - \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \).

Значит, \( L_{большая} = \left( 1 - \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \right) \cdot 2 \pi R = 2 \pi R - \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \).

Поскольку \( 61 = \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi R \), то \( L_{большая} = C - 61 \).

Чтобы найти \( C \), выразим \( 2 \pi R \) из уравнения для меньшей дуги: \( 2 \pi R = 61 \cdot \frac{360^{\circ}}{122^{\circ}} \).

\( 2 \pi R = 61 \cdot \frac{360}{122} = 61 \cdot \frac{180}{61} = 180 \).

Следовательно, длина всей окружности \( C = 180 \).

Длина большей дуги равна \( L_{большая} = 180 - 61 = 119 \).

Ответ: 119.