Найдите четырёхзначное число, кратное 55, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число должно быть кратно 55, значит, оно должно делиться на 5 и на 11. Все цифры числа должны быть различными и нечётными. Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.

Признак делимости на 5: последняя цифра должна быть 0 или 5. Так как цифры должны быть нечётными, последняя цифра — 5.

Признак делимости на 11: сумма цифр на нечётных позициях минус сумма цифр на чётных позициях должна делиться на 11. Пусть число имеет вид \( abcd \). Так как \( d=5 \), то \( (a+c) - (b+5) \) должно делиться на 11.

Пробуем различные комбинации нечётных цифр (1, 3, 7, 9) для \( a, b, c \):

• Если \( a=1, b=3, c=7 \): \( (1+7) - (3+5) = 8 - 8 = 0 \). Число 1375. Все цифры различны и нечётны. 1375 кратно 55.
• Если \( a=1, b=7, c=3 \): \( (1+3) - (7+5) = 4 - 12 = -8 \). Не делится на 11.
• Если \( a=3, b=1, c=7 \): \( (3+7) - (1+5) = 10 - 6 = 4 \). Не делится на 11.
• Если \( a=3, b=7, c=1 \): \( (3+1) - (7+5) = 4 - 12 = -8 \). Не делится на 11.
• Если \( a=1, b=9, c=3 \): \( (1+3) - (9+5) = 4 - 14 = -10 \). Не делится на 11.
• Если \( a=7, b=1, c=9 \): \( (7+9) - (1+5) = 16 - 6 = 10 \). Не делится на 11.
• Если \( a=9, b=1, c=3 \): \( (9+3) - (1+5) = 12 - 6 = 6 \). Не делится на 11.
• Если \( a=1, b=3, c=9 \): \( (1+9) - (3+5) = 10 - 8 = 2 \). Не делится на 11.
• Если \( a=7, b=3, c=1 \): \( (7+1) - (3+5) = 8 - 8 = 0 \). Число 7315. Все цифры различны и нечётны. 7315 кратно 55.
• Если \( a=9, b=7, c=1 \): \( (9+1) - (7+5) = 10 - 12 = -2 \). Не делится на 11.

Мы нашли два таких числа: 1375 и 7315.

Ответ: 1375.