Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение первого и третьего из этих чисел на 31 меньше произведения второго и четвёртого.

Решение:

1. Обозначим первое натуральное число как \( x \). Тогда четыре последовательных натуральных числа будут \( x, x+1, x+2, x+3 \).
2. Согласно условию задачи, произведение первого и третьего чисел на 31 меньше произведения второго и четвёртого. Запишем это в виде уравнения:
   \( x \cdot (x+2) = (x+1) \cdot (x+3) - 31 \)
3. Раскроем скобки:
   \( x^2 + 2x = x^2 + 3x + x + 3 - 31 \)
4. Упростим уравнение:
   \( x^2 + 2x = x^2 + 4x - 28 \)
5. Вычтем \( x^2 \) из обеих частей уравнения:
   \( 2x = 4x - 28 \)
6. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:
   \( 28 = 4x - 2x \)
7. \( 28 = 2x \)
8. Найдем \( x \):
   \( x = \frac{28}{2} \)
   \( x = 14 \)
9. Теперь найдем остальные три числа:
   \( x+1 = 14+1 = 15 \)
   \( x+2 = 14+2 = 16 \)
   \( x+3 = 14+3 = 17 \)
10. Проверим условие:
    Произведение первого и третьего: \( 14 \cdot 16 = 224 \)
    Произведение второго и четвёртого: \( 15 \cdot 17 = 255 \)
    \( 255 - 224 = 31 \). Условие выполняется.

Ответ: 14, 15, 16, 17