Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь: $$ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} : \frac{x + y}{y^2 - z^2} = $$

Решение:

Чтобы найти частное двух дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

1. Перепишем деление в виде умножения на обратную дробь: \[ \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} \cdot \frac{y^2 - z^2}{x + y} \]
2. Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и вынесение общего множителя за скобки:
   \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)
   \( z^2 + yz = z(z+y) \)
   \( y^2 - z^2 = (y-z)(y+z) \)
3. Подставим разложенные выражения в дробь: \[ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{(x+y)} \]
4. Сократим общие множители \( (x+y) \). Заметим, что \( y-z = -(z-y) \). Поэтому \( \frac{y-z}{z+y} \) можно записать как \( \frac{-(z-y)}{y+z} \).
   Также заметим, что \( y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) \).
   Продолжим преобразования, используя \( y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) \): \[ \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z^2 - y^2)}{x+y} \]
5. Сократим \( x+y \): \[ \frac{x-y}{z(z+y)} \cdot (-(z^2 - y^2)) \]
6. Заметим, что \( z^2 - y^2 = (z-y)(z+y) \) и \( z+y = y+z \).
   Подставим: \[ \frac{x-y}{z(y+z)} \cdot (-(z-y)(z+y)) \]
7. Сократим \( y+z \): \[ \frac{x-y}{z} \cdot (-(z-y)) \]
8. Раскроем скобки: \[ \frac{-(x-y)(z-y)}{z} \]
9. Или, если раскрыть скобки в числителе: \[ \frac{-xz + xy + yz - y^2}{z} \]
   
   Более простой вариант сокращения:
   \( \frac{x^2 - y^2}{z^2 + yz} : \frac{x + y}{y^2 - z^2} = \frac{x^2 - y^2}{z(z+y)} \cdot \frac{y^2 - z^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} \)
   
   Заметим, что \( y^2 - z^2 = -(z^2 - y^2) \).
   \( \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z^2 - y^2)}{x+y} = \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} \)
   
   Сокращаем \( x+y \) и \( z+y \):
   \( \frac{x-y}{z} \cdot \frac{-(z-y)}{1} = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} = \frac{-(xz - xy - yz + y^2)}{z} = \frac{-xz + xy + yz - y^2}{z} \)
   
   Или:
   \( \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} \)
   
   Заменим \( y^2-z^2 = -(z^2-y^2) \).
   \( \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} \)
   
   Сокращаем \( x+y \) и \( y+z \) (т.к. \( z+y=y+z \)):
   \( \frac{x-y}{z} \cdot \frac{-(z-y)}{1} = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} \).
   
   Если \( y^2-z^2 \) переписать как \( -(z^2-y^2) \) и \( z^2+yz \) как \( z(z+y) \):
   \( \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{-(z-y)(z+y)}{x+y} \)
   
   Сокращаем \( (x+y) \) и \( (z+y) \):
   \( \frac{x-y}{z} \cdot (-(z-y)) = \frac{-(x-y)(z-y)}{z} \).
   
   Это можно записать как:
   \( \frac{(y-x)(z-y)}{z} \) или \( \frac{(x-y)(y-z)}{z} \).
   
   Выберем последнее:
   \( \frac{(x-y)(x+y)}{z(z+y)} \cdot \frac{(y-z)(y+z)}{x+y} \)
   
   Сокращаем \( x+y \):
   \( \frac{x-y}{z(z+y)} \cdot (y-z)(y+z) \)
   
   Сокращаем \( z+y \) (т.к. \( z+y = y+z \)):
   \( \frac{x-y}{z} \cdot (y-z) = \frac{(x-y)(y-z)}{z} \)

Ответ: \( \frac{(x-y)(y-z)}{z} \)