Найдите большую диагональ параллелограмма ABCD, стороны которого относятся как 2:3, а перпендикуляр АМ, проведённый к меньшей диагонали, делит её на отрезки 4 и 9. Ответ:

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором AB:BC = 2:3. Обозначим AB = 2x, BC = 3x.

Перпендикуляр AM проведен к меньшей диагонали BD и делит ее на отрезки BM = 4 и MD = 9. Тогда BD = BM + MD = 4 + 9 = 13.

Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: через основание и высоту и через две стороны и синус угла между ними.

$$S_{ABCD} = BD \cdot AM = AB \cdot BC \cdot sin \angle ABC$$

$$13 \cdot AM = 2x \cdot 3x \cdot sin \angle ABC$$

$$13 \cdot AM = 6x^2 \cdot sin \angle ABC$$

Чтобы найти большую диагональ AC, нужно знать угол между сторонами параллелограмма.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем известны стороны AB = 2x, AD = 3x и BD = 13.

По теореме косинусов $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos \angle BAD$$

$$13^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3x \cdot cos \angle BAD$$

$$169 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cdot cos \angle BAD$$

$$169 = 13x^2 - 12x^2 \cdot cos \angle BAD$$

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны стороны AB = 2x, BC = 3x и угол ABC, который является смежным углом с углом BAD.

По теореме косинусов $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos \angle ABC$$

$$AC^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3x \cdot cos (180° - \angle BAD)$$

$$AC^2 = 4x^2 + 9x^2 + 12x^2 \cdot cos \angle BAD$$

$$AC^2 = 13x^2 + 12x^2 \cdot cos \angle BAD$$

Для решения задачи не хватает данных.

Ответ: не хватает данных