1) Найдите боковую сторону АВ трапеции АBCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD=20. 2) Окружности с центрами в точках А и В пересекаются в точках С и D, причём точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые АВ и CD перпендикулярны.

Ответ: АВ = 20

Решение:

1. Проведём высоту ВН из вершины В к основанию CD.

   Получаем прямоугольный треугольник BHC, в котором угол BCH равен 120° - 90° = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике BHC катет BH, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы BC.

   Значит, BC = 2BH.

3. Рассмотрим трапецию ABCD. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.

   Следовательно, угол BAD = 180° - угол ABC = 180° - 30° = 150°.

4. Угол CAD = угол BAD - угол BAC = 150° - 90° = 60°.

5. Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 90°, угол ABC = 30°, следовательно, угол BCA = 180° - 90° - 30° = 60°.

   Тогда треугольник ABC - прямоугольный.

6. Проведём высоту АK из вершины А к основанию CD.

   Получаем прямоугольник ABHК, где AB = HK и AK = BH.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD. В нём угол KAD = 90° - угол CDA = 90° - 60° = 30°.

   Тогда катет KD, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AD.

   AD = 2KD.

8. Так как BC = 2BH, AD = 2KD и BH = AK, то BC = 2AK и AD = 2KD.

   Тогда CD = CK + KD = AB + KD.

9. Пусть KD = x, тогда AD = 2x.

   CD = AB + x, следовательно, 20 = AB + x.

   В прямоугольном треугольнике AKD: sin∠D = \(\frac{AK}{AD}\) = \(\frac{AK}{2x}\)

   В прямоугольном треугольнике BHC: sin∠C = \(\frac{BH}{BC}\) = \(\frac{BH}{2BH}\) = \(\frac{1}{2}\)

   Так как sin∠C = sin∠D, то BC = AD.

   Следовательно, трапеция ABCD - равнобедренная.

10. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: АВ = CD = 20.

Ответ: АВ = 20