Найдите \(sin \alpha\), если \(cos \alpha = -\frac{15}{17}\), \(\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\).

Решение:

Основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\).

Выразим \(sin^2 \alpha\):

\(sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha\)

Подставим значение \(cos \alpha = -\frac{15}{17}\):

\(sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}\)

Значит, \(sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{64}{289}} = \pm \frac{8}{17}\).

Так как \(\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\), то есть \(\alpha\) находится в третьей четверти, где синус отрицателен, то выбираем отрицательное значение:

\(sin \alpha = -\frac{8}{17}\)

Ответ: \(-\frac{8}{17}\)