Найди значение выражения \( \frac{a^{-6}(a^3)^3}{a^{-4}\cdot (a^3)^5} \) при \( a = 2^{-1} \).

Решение:

1. Упростим выражение в числителе: \( (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9 \).
2. Числитель: \( a^{-6} \cdot a^9 = a^{-6+9} = a^3 \).
3. Упростим выражение в знаменателе: \( (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} \).
4. Знаменатель: \( a^{-4} \cdot a^{15} = a^{-4+15} = a^{11} \).
5. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^3}{a^{11}} \).
6. Сократим дробь: \( a^{3-11} = a^{-8} \).
7. Подставим значение \( a = 2^{-1} \): \( (2^{-1})^{-8} = 2^{(-1) \cdot (-8)} = 2^8 \).
8. Вычислим значение: \( 2^8 = 256 \).

Ответ: 256