7. Найди значение выражения 9√2 sin 11π/8 cos 11π/8.

Пошаговое решение:

1. Представим исходное выражение в виде: \[ 9\sqrt{2} \sin{\frac{11\pi}{8}} \cos{\frac{11\pi}{8}} \]
2. Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\). Тогда, \(\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2} \sin{2x}\). Применим эту формулу к нашему выражению: \[ 9\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin{\left(2 \cdot \frac{11\pi}{8}\right)} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{11\pi}{4}} \]
3. Упростим аргумент синуса: \[ \frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} \] Так как синус имеет период \(2\pi\), то: \[ \sin{\frac{11\pi}{4}} = \sin{\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right)} = \sin{\frac{3\pi}{4}} \]
4. Найдем значение \(\sin{\frac{3\pi}{4}}\) : \(\sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin{\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
5. Подставим найденное значение обратно в выражение: \[ \frac{9\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: 4.5