17. Найди значение выражения \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17}\).

Для решения данного выражения необходимо упростить его, выделив полные квадраты под корнем.

Сначала рассмотрим выражение под первым корнем: \(98 + 18\sqrt{17}\).

Предположим, что его можно представить в виде квадрата суммы: \((a + b\sqrt{17})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{17} + 17b^2\)

Сравним это с исходным выражением: \(98 + 18\sqrt{17}\)

Получаем систему уравнений:

• \(a^2 + 17b^2 = 98\)
• \(2ab = 18\), откуда \(ab = 9\)

Выразим \(a\) через \(b\): \(a = \frac{9}{b}\). Подставим в первое уравнение:

\(\left(\frac{9}{b}\right)^2 + 17b^2 = 98\)

\(\frac{81}{b^2} + 17b^2 = 98\)

Умножим обе части на \(b^2\):

\(81 + 17b^4 = 98b^2\)

\(17b^4 - 98b^2 + 81 = 0\)

Пусть \(x = b^2\), тогда:

\(17x^2 - 98x + 81 = 0\)

Найдем дискриминант: \(D = (-98)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 81 = 9604 - 5508 = 4096\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{4096} = 64\)

Корни квадратного уравнения:

\(x_1 = \frac{98 + 64}{2 \cdot 17} = \frac{162}{34} = \frac{81}{17}\)

\(x_2 = \frac{98 - 64}{2 \cdot 17} = \frac{34}{34} = 1\)

Тогда, \(b^2 = 1\) или \(b^2 = \frac{81}{17}\). Подходящим решением является \(b = 1\), тогда \(a = 9\).

Значит, \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} = 9 + \sqrt{17}\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17} = (9 + \sqrt{17}) - \sqrt{17} = 9\)

Ответ: 9