Найди вероятность, что Костя, стреляя из лука до первого попадания, попадёт в мишень на восьмом выстреле. Считай, что вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 8/10.

Решение:

Это задача на геометрическое распределение вероятностей. Вероятность того, что первое попадание произойдет на k-м испытании, равна \( P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \), где \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, а \( 1-p \) — вероятность неудачи.

В данном случае:

• Вероятность попасть в мишень (успех) \( p = \frac{8}{10} = 0.8 \).
• Вероятность промахнуться (неудача) \( 1-p = 1 - 0.8 = 0.2 \).
• Номер выстрела, на котором произойдет первое попадание, \( k = 8 \).

Подставляем значения в формулу:

\[ P(X=8) = (0.2)^{8-1} \cdot 0.8 = (0.2)^7 \cdot 0.8 \]

Вычисляем:

\[ (0.2)^7 = 0.0000128 \]\[ P(X=8) = 0.0000128 \cdot 0.8 = 0.00001024 \]

Переведем в дробь:

\[ 0.00001024 = \frac{1024}{100000000} = \frac{1}{97656.25} \]

Для удобства представим в виде обычной дроби:

\[ (0.2)^7 \cdot 0.8 = \left(\frac{2}{10}\right)^7 \cdot \frac{8}{10} = \left(\frac{1}{5}\right)^7 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5^7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5^8} \]\[ 5^8 = 390625 \]\[ P(X=8) = \frac{4}{390625} \]

Ответ: \( \frac{4}{390625} \).