Найди треугольники, площадь которых равна 84. Выбери все верные варианты.

Решение:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, если известны все три стороны. Формула Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p \) — полупериметр, \( a, b, c \) — стороны треугольника.

Проверим каждый треугольник:

1. Треугольник 1: стороны 5, 29, 30.
• Полупериметр \( p = (5 + 29 + 30) / 2 = 64 / 2 = 32 \)
• Площадь \( S = \sqrt{32(32-5)(32-29)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 9} = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 \)
2. Треугольник 2: стороны 8, 26, 30.
• Полупериметр \( p = (8 + 26 + 30) / 2 = 64 / 2 = 32 \)
• Площадь \( S = \sqrt{32(32-8)(32-26)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 24 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 144} = 4 \cdot 2 \cdot 12 = 96 \)
3. Треугольник 3: стороны 10, 17, 21.
• Полупериметр \( p = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 \)
• Площадь \( S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \)
• Этот треугольник подходит.
4. Треугольник 4: стороны 8, 29, 35.
• Полупериметр \( p = (8 + 29 + 35) / 2 = 72 / 2 = 36 \)
• Площадь \( S = \sqrt{36(36-8)(36-29)(36-35)} = \sqrt{36 \cdot 28 \cdot 7 \cdot 1} = \sqrt{36 \cdot (4 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{36 \cdot 4 \cdot 49} = 6 \cdot 2 \cdot 7 = 84 \)
• Этот треугольник подходит.
5. Треугольник 5: стороны 13, 14, 15.
• Полупериметр \( p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 \)
• Площадь \( S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 49} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \)
• Этот треугольник подходит.

Ответ: Верные варианты: 3, 4, 5.