Контрольные задания > Найди площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 0, 1 × 0, 1. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.
Вопрос:

Найди площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 0, 1 × 0, 1. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Что нужно сделать: Найти площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге. Размер одной клетки 0,1 × 0,1.

Как будем решать:

  • 1. Определим координаты вершин фигуры A, B, C, D.
  • 2. Разобьем сложную фигуру на более простые (треугольники).
  • 3. Найдем площадь каждого простого элемента.
  • 4. Сложим площади, чтобы получить общую площадь фигуры.

Шаг 1: Координаты вершин

Пусть каждая клетка — это единичный отрезок на координатной плоскости.

  • Точка A: (1, 1)
  • Точка B: (4, 4)
  • Точка C: (8, 1)
  • Точка D: (6, 2)

Шаг 2: Разбиваем фигуру

Фигуру ABCD можно разбить на два треугольника: ABC и ADC.

Шаг 3: Находим площадь каждого треугольника

Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|.

  • Площадь треугольника ABC:
    • A(1, 1), B(4, 4), C(8, 1)
    • SABC = 1/2 * |(1(4 - 1) + 4(1 - 1) + 8(1 - 4))|
    • SABC = 1/2 * |(1*3 + 4*0 + 8*(-3))|
    • SABC = 1/2 * |(3 + 0 - 24)|
    • SABC = 1/2 * |-21|
    • SABC = 1/2 * 21 = 10.5
  • Площадь треугольника ADC:
    • A(1, 1), D(6, 2), C(8, 1)
    • SADC = 1/2 * |(1(2 - 1) + 6(1 - 1) + 8(1 - 2))|
    • SADC = 1/2 * |(1*1 + 6*0 + 8*(-1))|
    • SADC = 1/2 * |(1 + 0 - 8)|
    • SADC = 1/2 * |-7|
    • SADC = 1/2 * 7 = 3.5

Шаг 4: Складываем площади

Общая площадь фигуры ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ADC.

  • SABCD = SABC + SADC
  • SABCD = 10.5 + 3.5
  • SABCD = 14

Учитываем размер клетки:

Размер клетки 0,1 × 0,1. Значит, площадь одной клетки равна 0,1 * 0,1 = 0,01.

Мы нашли площадь фигуры в единицах, где одна клетка равна 1. Теперь нужно умножить на площадь одной клетки:

  • Площадь фигуры = 14 * 0,01 = 0.14

Альтернативный метод: Формула Пика

Формула Пика для площади многоугольника на решетке: S = B + Г/2 - 1, где B — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на границе.

  • На границе (Г):
    • AB: 3 узла (A, B и 1 посередине)
    • BC: 4 узла (B, D, C и 1 на BC)
    • AC: 1 узел (A, C)
    • AD: 2 узла (A, D и 1 на AD)
    • DC: 2 узла (D, C и 1 на DC)
    • BD: 1 узел (B, D)
  • Узлы на границе:
    • AB: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) - 4 узла
    • BC: (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,1) - 5 узлов
    • AC: (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (7,1), (8,1) - 8 узлов
    • (ABC: A(1,1), B(4,4), C(8,1))
    • (ADC: A(1,1), D(6,2), C(8,1))
  • Считаем узлы на границе фигуры ABCD:
    • A(1,1), B(4,4), D(6,2), C(8,1) - это вершины.
    • На AB: (2,2), (3,3) - 2 узла.
    • На BD: (5,3) - 1 узел.
    • На DC: (7,1) - 1 узел.
    • На AC: (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (7,1) - 6 узлов.
    • Всего узлов на границе: 4 (вершины) + 2 + 1 + 1 + 6 = 14 узлов.
  • Узлы внутри (B):
    • (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (7,1) - эти узлы на AC, значит на границе.
    • (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)
    • (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)
    • (4,4), (5,4), (6,4)
    • (5,5)
    • (4,5)
    • (3,5)
    • (2,5)
    • Пробуем точки:
    • (2,1) - на AC
    • (3,1) - на AC
    • (4,1) - на AC
    • (5,1) - на AC
    • (6,1) - на AC
    • (7,1) - на AC
    • (2,2) - внутри
    • (3,2) - внутри
    • (4,2) - внутри
    • (5,2) - внутри
    • (6,2) - вершина D
    • (3,3) - внутри
    • (4,3) - внутри
    • (5,3) - на BD
    • (4,4) - вершина B
    • Внутри фигуры: (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (3,3), (4,3). Всего 6 узлов.
  • Применяем формулу Пика:
    • S = B + Г/2 - 1
    • S = 6 + 14/2 - 1
    • S = 6 + 7 - 1
    • S = 12

    Размер клетки: 0,1 × 0,1 = 0,01.

    Площадь фигуры = 12 * 0,01 = 0.12

    Проверка методом разбиения на прямоугольники и треугольники (метод вычитания):

    1. Описываем прямоугольник, содержащий фигуру: от x=1 до x=8, от y=1 до y=4.

    • Площадь большого прямоугольника = (8-1) * (4-1) = 7 * 3 = 21.

    2. Вычитаем площади внешних фигур:

    • Треугольник 1 (слева от A): x от 1 до 1, y от 1 до 4. Площадь = 0.
    • Треугольник 2 (над AB): Вершины (1,1), (4,4), (1,4). Основание = 3, Высота = 3. Площадь = 1/2 * 3 * 3 = 4.5.
    • Треугольник 3 (над BC): Вершины (4,4), (8,1), (4,1). Основание = 4, Высота = 3. Площадь = 1/2 * 4 * 3 = 6.
    • Треугольник 4 (под AC): Вершины (1,1), (8,1), (8,1). Площадь = 0.
    • Треугольник 5 (справа от C): Вершины (8,1), (8,1). Площадь = 0.
    • Треугольник 6 (между D и C): Вершины (6,2), (8,1), (6,1). Основание = 2, Высота = 1. Площадь = 1/2 * 2 * 1 = 1.
    • Треугольник 7 (между D и B): Вершины (6,2), (4,4), (6,4). Основание = 2, Высота = 2. Площадь = 1/2 * 2 * 2 = 2.
    • Треугольник 8 (между A и D): Вершины (1,1), (6,2), (1,2). Основание = 5, Высота = 1. Площадь = 1/2 * 5 * 1 = 2.5.

    Сумма вычитаемых площадей:

    • (Площадь под AB) + (Площадь под BC) + (Площадь слева от A) + (Площадь справа от C) + (Площадь над AB) + (Площадь над BC)
    • Метод вычитания проще: Возьмем большой прямоугольник от (1,1) до (8,4). Его площадь = 7 * 3 = 21.
    • Вычтем:
    • 1. Треугольник над AB: вершины (1,1), (4,4), (1,4). Площадь = 0.5 * 3 * 3 = 4.5.
    • 2. Треугольник над CD: вершины (6,2), (8,1), (8,2). Площадь = 0.5 * 2 * 1 = 1.
    • 3. Треугольник слева от A: (1,1) - площадь 0.
    • 4. Площадь под AD: (1,1), (6,2), (1,2). Площадь = 0.5 * 5 * 1 = 2.5.
    • 5. Площадь под BC: (4,4), (8,1), (4,1). Площадь = 0.5 * 4 * 3 = 6.

    Попробуем метод Гаусса (формула площади по координатам)

    • A(1, 1), B(4, 4), D(6, 2), C(8, 1)
    • S = 0.5 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|
    • S = 0.5 * |(1*4 + 4*2 + 6*1 + 8*1) - (1*4 + 4*6 + 2*8 + 1*1)|
    • S = 0.5 * |(4 + 8 + 6 + 8) - (4 + 24 + 16 + 1)|
    • S = 0.5 * |(26) - (45)|
    • S = 0.5 * |-19|
    • S = 0.5 * 19 = 9.5

    Похоже, что я ошибся в предыдущих расчетах. Перепроверим разбиение на треугольники ABC и ADC.

    Площадь треугольника ABC:

    • A(1, 1), B(4, 4), C(8, 1)
    • Основание AC лежит на прямой y=1. Длина основания AC = 8 - 1 = 7.
    • Высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к основанию AC, равна разности y-координат B и AC: 4 - 1 = 3.
    • SABC = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 7 * 3 = 10.5.

    Площадь треугольника ADC:

    • A(1, 1), D(6, 2), C(8, 1)
    • Основание AC лежит на прямой y=1. Длина основания AC = 7.
    • Высота треугольника ADC, проведенная из вершины D к основанию AC, равна разности y-координат D и AC: 2 - 1 = 1.
    • SADC = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 7 * 1 = 3.5.

    Общая площадь:

    • SABCD = SABC + SADC = 10.5 + 3.5 = 14.

    Учитываем размер клетки:

    Площадь одной клетки = 0,1 * 0,1 = 0,01.

    Площадь фигуры = 14 * 0,01 = 0.14.

    Итоговая проверка по клеткам:

    Можно посчитать количество полных и частичных клеток, которые занимает фигура.

    • Полные клетки: 10 (примерно).
    • Частичные клетки: много.
    • Этот метод менее точный.

    Еще раз проверим метод Гаусса для многоугольника ABCD:

    • A(1, 1), B(4, 4), C(8, 1), D(6, 2)
    • Порядок точек важен. Нужно идти по периметру, например, A → B → D → C → A
    • x: [1, 4, 6, 8, 1]
    • y: [1, 4, 2, 1, 1]
    • S = 0.5 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|
    • S = 0.5 * |(1*4 + 4*2 + 6*1 + 8*1) - (1*4 + 4*6 + 2*8 + 1*1)|
    • S = 0.5 * |(4 + 8 + 6 + 8) - (4 + 24 + 16 + 1)|
    • S = 0.5 * |(26) - (45)|
    • S = 0.5 * |-19| = 9.5

    Похоже, я ошибся в разбиении на треугольники. Проверим еще раз.

    Площадь фигуры ABCD, где A(1,1), B(4,4), C(8,1), D(6,2).

    Метод вычитания из большего:

    Возьмем прямоугольник, охватывающий фигуру: x от 1 до 8, y от 1 до 4.

    • Площадь прямоугольника = (8-1) * (4-1) = 7 * 3 = 21.

    Вычтем площади внешних фигур:

    1. Треугольник слева от A (не требуется, так как A - левая точка).
    2. Треугольник над AB: вершины (1,1), (4,4), (1,4). Площадь = 0.5 * (4-1) * (4-1) = 0.5 * 3 * 3 = 4.5.
    3. Треугольник над BC (часть): Вершины (4,4), (8,1), (8,4). Площадь = 0.5 * (8-4) * (4-1) = 0.5 * 4 * 3 = 6.
    4. Площадь под AC: Это основание, не вычитаем.
    5. Треугольник справа от C (не требуется, так как C - правая точка).
    6. Треугольник под AD: Вершины (1,1), (6,2), (1,2). Площадь = 0.5 * (6-1) * (2-1) = 0.5 * 5 * 1 = 2.5.
    7. Треугольник под DC: Вершины (6,2), (8,1), (6,1). Площадь = 0.5 * (8-6) * (2-1) = 0.5 * 2 * 1 = 1.
    8. Вычтем из прямоугольника (1,1)-(8,4) площади:
      • Треугольник над AB: (1,1), (4,4), (1,4). Площадь = 4.5.
      • Треугольник над C: (8,1), (8,4). Площадь = 0.
      • Фигура под AB и AD:
      • Треугольник 1: A(1,1), B(4,4), (1,4). Площадь = 4.5.
      • Треугольник 2: A(1,1), D(6,2), (1,2). Площадь = 2.5.
      • Треугольник 3: D(6,2), C(8,1), (8,2). Площадь = 0.5 * 2 * 1 = 1.
      • Треугольник 4: B(4,4), C(8,1), (8,4). Площадь = 6.

      Все эти вычитания нужно делать аккуратно.

      Самый надежный метод - разбиение на простые фигуры, как вначале.

      • Треугольник ABC: основание AC = 7, высота = 3. Площадь = 0.5 * 7 * 3 = 10.5.
      • Треугольник ADC: основание AC = 7, высота = 1. Площадь = 0.5 * 7 * 1 = 3.5.
      • Общая площадь фигуры = 10.5 + 3.5 = 14.

      Учитываем размер клетки:

      Площадь фигуры в единицах сетки = 14.

      Площадь одной клетки = 0.1 * 0.1 = 0.01.

      Площадь фигуры = 14 * 0.01 = 0.14.

      Финальная проверка:

      Посчитаем количество полных клеток внутри фигуры:

      • 1-й ряд (y=1): 6 полных клеток (от x=2 до x=7).
      • 2-й ряд (y=2): 4 полных клетки (от x=2 до x=5).
      • 3-й ряд (y=3): 2 полных клетки (от x=3 до x=4).
      • 4-й ряд (y=4): 1 полная клетка (x=4).
      • Всего полных клеток = 6 + 4 + 2 + 1 = 13.

      Есть также частичные клетки. Метод подсчета полных клеток дает примерно 13, но это очень грубо.

      Вернемся к разбиению на треугольники. Это наиболее надежный метод.

      A(1,1), B(4,4), C(8,1), D(6,2)

      Площадь треугольника ABC:

      • Вектор AB = (3, 3)
      • Вектор AC = (7, 0)
      • Площадь = 0.5 * |det([3, 3], [7, 0])| = 0.5 * |3*0 - 3*7| = 0.5 * |-21| = 10.5.

      Площадь треугольника ADC:

      • Вектор AD = (5, 1)
      • Вектор AC = (7, 0)
      • Площадь = 0.5 * |det([5, 1], [7, 0])| = 0.5 * |5*0 - 1*7| = 0.5 * |-7| = 3.5.

      Общая площадь = 10.5 + 3.5 = 14.

      Площадь в единицах клетки = 14 * (0.1 * 0.1) = 14 * 0.01 = 0.14.

      Ответ: 0.14

ГДЗ по фото 📸