Найди площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 8 и образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Обозначим диагональ призмы как \( d \), высоту призмы как \( h \), диагональ основания как \( d_{осн} \). Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 45°.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю призмы, диагональю основания и высотой призмы, катет, противолежащий углу 45°, равен другому катету. Следовательно, \( h = d_{осн} \).

Из условия задачи известно, что \( d = 8 \) и угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 45°.

В прямоугольном треугольнике: \( = d \alpha \), где \( \alpha \) — угол между диагональю и плоскостью основания.

\( h = 8 45^ = 8 \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \)

Значит, \( d_{осн} = 4 \).

Правильная четырёхугольная призма имеет в основании квадрат. Диагональ квадрата связана с его стороной \( a \) соотношением: \( d_{осн} = a \).

Найдем сторону квадрата: \( a = = = \frac{4}{} = 4 \).

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} h \).

Периметр квадрата: \( P_{осн} = 4a = 4 4 = 16 \).

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 16 4 = 64 \).

Ответ: 64