Найди КПД гидравлической машины, если для подъёма груза массой 3 т нужно прикладывать к меньшему поршню силу 200 Н. Площади меньшего и большего поршней равны 2 см² и 400 см² соответственно.

Для начала, давай переведем все единицы измерения в систему СИ. Масса груза 3 тонны - это 3000 кг. Площади поршней даны в квадратных сантиметрах, а нужно в квадратных метрах.

• Площадь малого поршня: $$2 \text{ см}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ м}^2$$
• Площадь большого поршня: $$400 \text{ см}^2 = 400 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \times 10^{-2} \text{ м}^2$$

Теперь, давай вспомним, что КПД (коэффициент полезного действия) - это отношение полезной работы к затраченной.

Полезная работа - это работа по подъему груза, то есть:

$$A_{полезная} = mgh$$,

где m - масса груза, g - ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с²), h - высота, на которую поднимают груз.

Затраченная работа - это работа, которую мы совершаем, прикладывая силу к меньшему поршню, то есть:

$$A_{затраченная} = Fs$$,

где F - сила, приложенная к меньшему поршню, s - расстояние, на которое перемещается малый поршень.

КПД вычисляется по формуле:

$$КПД = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} = \frac{mgh}{Fs}$$

Мы не знаем высоту h и расстояние s, но мы можем выразить их отношение через площади поршней. Так как объем жидкости, вытесненный малым поршнем, равен объему, поднявшему большой поршень, справедливо соотношение:

$$S_{малого} \cdot s = S_{большого} \cdot h$$,

отсюда:

$$\frac{h}{s} = \frac{S_{малого}}{S_{большого}}$$

Теперь можем переписать формулу для КПД:

$$КПД = \frac{mg \frac{S_{малого}}{S_{большого}}}{F} = \frac{mgS_{малого}}{FS_{большого}}$$

Подставляем значения:

$$КПД = \frac{3000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \times 10^{-4} \text{ м}^2}{200 \text{ Н} \cdot 4 \times 10^{-2} \text{ м}^2} = \frac{3000 \cdot 9.8 \cdot 2 \times 10^{-4}}{200 \cdot 4 \times 10^{-2}} = \frac{5.88}{8} = 0.735$$

КПД обычно выражается в процентах, поэтому:

$$КПД = 0.735 \times 100\% = 73.5\%$$

Ответ: 73.5