Найди косинус угла между диагональю А1 С прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью грани AA1D1D, если АВ = 5√7, ВС = 5 и АА₁ = 10√2. Запиши в поле ответа верное число в виде обыкновенной несократимой дроби. Например: 1/2.

Пошаговое решение:

1. Найдем диагональ основания AC по теореме Пифагора:
   \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(5\sqrt{7})^2 + 5^2} = \sqrt{175 + 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]
2. Найдем диагональ параллелепипеда A₁C по теореме Пифагора:
   \[A_1C = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 200} = \sqrt{400} = 20\]
3. Проекцией диагонали A₁C на плоскость AA₁D₁D является отрезок A₁A, длина которого равна 10√2.
4. Найдем косинус угла между диагональю A₁C и плоскостью AA₁D₁D:
   \[cos(\alpha) = \frac{A_1A}{A_1C} = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: √2/2