Найди координаты вектора \(\vec{p}\) и его длину, если \(\vec{p} = 6\vec{a} - 4\vec{b}\), \(\vec{a} = \{3; -5\}\), \(\vec{b} = \{5; -7\}\).

Решение:

Чтобы найти координаты вектора \(\vec{p}\), нужно выполнить действия над векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) согласно условию \(\vec{p} = 6\vec{a} - 4\vec{b}\).

1. Умножим координаты вектора \(\vec{a}\) на 6: \(6\vec{a} = \{6 \times 3; 6 \times (-5)\} = \{18; -30\}\).
2. Умножим координаты вектора \(\vec{b}\) на 4: \(4\vec{b} = \{4 \times 5; 4 \times (-7)\} = \{20; -28\}\).
3. Вычтем координаты вектора \(4\vec{b}\) из координат вектора \(6\vec{a}\): \(\vec{p} = \{18 - 20; -30 - (-28)\} = \{18 - 20; -30 + 28\} = \{-2; -2\}\).

Итак, координаты вектора \(\vec{p}\) равны \(\{-2; -2\}\).

Теперь найдем длину вектора \(\vec{p}\), используя формулу \(|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где \(x\) и \(y\) — координаты вектора.

1. Подставим координаты вектора \(\vec{p}\) в формулу: \(|\vec{p}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2}\).
2. Вычислим: \(|\vec{p}| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\).
3. Упростим корень: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\).

Длина вектора \(\vec{p}\) равна \(2\sqrt{2}\).

Ответ: координаты вектора \(\vec{p}\) — \(\{-2; -2\}\), длина вектора \(|\vec{p}|\) — \(2\sqrt{2}\).