Найди градусную меру угла SQP, если PQ = 63°, а PS : SQ = 7 : 4.

Решение:

Угол \( ∠ SQP \) является вписанным и опирается на дугу \( ∠ SP \). Следовательно, градусная мера \( ∠ SQP \) равна половине градусной меры дуги \( ∠ SP \).

Нам дано, что \( ∠ PQ = 63^\circ \). Это также вписанный угол, опирающийся на дугу \( ∠ SP \).

Следовательно, градусная мера дуги \( ∠ SP \) равна \( 2 × 63^\circ = 126^\circ \).

Далее, нам дано соотношение дуг \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \). Обозначим \( ∠ PS = 7x \) и \( ∠ SQ = 4x \).

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна \( 360^\circ \). Мы знаем, что \( ∠ SP = 126^\circ \). Тогда оставшаяся часть окружности, дуга \( ∠ SQP \) (или \( ∠ SQ + ∠ QP \)), составляет \( 360^\circ - 126^\circ \).

Из условия \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \) и \( ∠ PQ = 63^\circ \), мы можем найти градусные меры дуг \( ∠ PS \) и \( ∠ SQ \).

Метод 1: Через соотношение дуг

1. Дуга \( ∠ SP \) равна \( 2 \times ∠ PQ = 2 \times 63^\circ = 126^\circ \).
2. Пусть \( ∠ PS = 7x \) и \( ∠ SQ = 4x \).
3. Сумма дуг \( ∠ PS + ∠ SQ + ∠ QP = 360^\circ \).
4. Нам известно, что \( ∠ PQ = 63^\circ \) (вписанный угол), значит, дуга \( ∠ SP \) равна \( 2 \times 63^\circ = 126^\circ \).
5. Теперь мы можем записать: \( ∠ PS + ∠ SQ = 360^\circ - ∠ QP \). Это не совсем корректно, так как \( ∠ QP \) является дугой, а не углом.
6. Вернемся к \( ∠ SP = 126^\circ \).
7. Нам дано \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
8. Сумма дуг \( ∠ PS + ∠ SQ \) составляет часть полной окружности.
9. Вписанный угол \( ∠ PQS \) опирается на дугу \( ∠ PS \).
10. Вписанный угол \( ∠ QSP \) опирается на дугу \( ∠ QP \).
11. Вписанный угол \( ∠ SPQ \) опирается на дугу \( ∠ SQ \).
12. Нам известно \( ∠ PQ = 63^\circ \), что является вписанным углом, опирающимся на дугу \( ∠ SP \). Значит, дуга \( ∠ SP = 2 \times 63^\circ = 126^\circ \).
13. У нас есть соотношение дуг \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
14. Дуга \( ∠ PS \) и дуга \( ∠ SQ \) вместе с дугой \( ∠ QP \) составляют полную окружность \( 360^\circ \).
15. Дуга \( ∠ QP \) вместе с дугой \( ∠ PS \) составляют полную окружность.
16. По условию \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
17. Дуга \( ∠ SP = 126^\circ \).
18. Дуга \( ∠ QP \) = \( 360^\circ - 126^\circ - (\text{дуга } ∠ SQ) \). Это не работает.
19. Переосмыслим: \( ∠ PQ = 63^\circ \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( ∠ SP \). Значит, дуга \( ∠ SP = 2 \times 63^\circ = 126^\circ \).
20. Нам дано \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
21. Сумма дуг \( ∠ PS + ∠ SQ \) не равна \( 360^\circ \) или \( 180^\circ \) напрямую.
22. Обратим внимание, что \( ∠ SP \) — это дуга, а \( ∠ PS \) — это другой угол или дуга. В задании указано \( ∠ PQ = 63^\circ \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( ∠ SQ \).
23. Значит, дуга \( ∠ SQ = 2 \times 63^\circ = 126^\circ \).
24. Далее, \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
25. Пусть \( ∠ PS = 7x \) и \( ∠ SQ = 4x \).
26. Но мы уже нашли, что \( ∠ SQ = 126^\circ \).
27. Тогда \( 4x = 126^\circ \), откуда \( x = \frac{126^\circ}{4} = 31.5^\circ \).
28. Тогда дуга \( ∠ PS = 7x = 7 \times 31.5^\circ = 220.5^\circ \).
29. Сумма дуг \( ∠ PS + ∠ SQ = 220.5^\circ + 126^\circ = 346.5^\circ \). Это не вся окружность.
30. Возможно, \( ∠ PQ = 63^\circ \) — это дуга \( ∠ PQ \). Но по тексту это угол.
31. Давайте предположим, что \( ∠ PQ = 63^\circ \) — это градусная мера дуги \( ∠ PQ \).
32. Тогда \( ∠ PS : ∠ SQ = 7 : 4 \).
33. Полная окружность \( 360^\circ \).
34. \( ∠ PS + ∠ SQ + ∠ QP = 360^\circ \).
35. \( 7x + 4x + 63^\circ = 360^\circ \).
36. \( 11x = 360^\circ - 63^\circ \).
37. \( 11x = 297^\circ \).
38. \( x = \frac{297^\circ}{11} = 27^\circ \).
39. Дуга \( ∠ PS = 7x = 7 \times 27^\circ = 189^\circ \).
40. Дуга \( ∠ SQ = 4x = 4 \times 27^\circ = 108^\circ \).
41. Проверка: \( 189^\circ + 108^\circ + 63^\circ = 360^\circ \). Верно.
42. Нам нужно найти градусную меру угла \( ∠ SQP \).
43. Угол \( ∠ SQP \) — вписанный, он опирается на дугу \( ∠ SP \).
44. Градусная мера дуги \( ∠ SP \) = \( 189^\circ \).
45. \( ∠ SQP = \frac{1}{2} \times \text{дуга } ∠ SP \).
46. \( ∠ SQP = \frac{1}{2} \times 189^\circ = 94.5^\circ \).

Ответ: 94.5