Найди градусную меру угла РМN, если длина дуги PN в 3,5 раза меньше длины дуги РМ и в 1,5 раза меньше длины дуги NM.

Анализ задачи:

Нам нужно найти градусную меру угла PMN. Угол PMN является вписанным углом, который опирается на дугу PN. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

То есть, ∠PMN = ½ * m(дуги PN)

Нам известны соотношения длин дуг:

• длина дуги PN = 3,5 * длина дуги PM
• длина дуги PN = 1,5 * длина дуги NM

Сумма длин всех дуг окружности равна 360°. То есть, m(дуги PN) + m(дуги PM) + m(дуги NM) = 360°

Решение:

1. Выразим длины дуг через m(дуги PN):
   • Из первого соотношения: m(дуги PM) = m(дуги PN) / 3,5
   • Из второго соотношения: m(дуги NM) = m(дуги PN) / 1,5
2. Подставим в уравнение суммы дуг:

   \[ m(дуги PN) + \frac{m(дуги PN)}{3.5} + \frac{m(дуги PN)}{1.5} = 360^° \]

3. Решим уравнение относительно m(дуги PN):

   Приведем дроби к общему знаменателю (3.5 * 1.5 = 5.25):

   \[ \frac{5.25 × m(дуги PN)}{5.25} + \frac{1.5 × m(дуги PN)}{5.25} + \frac{3.5 × m(дуги PN)}{5.25} = 360^° \]

   \[ \frac{(5.25 + 1.5 + 3.5) × m(дуги PN)}{5.25} = 360^° \]

   \[ \frac{10.25 × m(дуги PN)}{5.25} = 360^° \]

   \[ m(дуги PN) = \frac{360^° × 5.25}{10.25} \]

   \[ m(дуги PN) = \frac{1890}{10.25} ≈ 184.39^° \]

4. Найдем градусную меру угла PMN:

   \[ ∠PMN = \frac{1}{2} × m(дуги PN) \]

   \[ ∠PMN ≈ \frac{1}{2} × 184.39^° ≈ 92.195^° \]

Ответ: 92.2