Найди f'(4), если f(x) = √x · 4x. Запиши в поле ответа верное целое число или десятичную дробь.

Решение:

Дана функция \( f(x) = \sqrt{x} \cdot 4x \). Перед тем как найти производную, упростим функцию:

\( f(x) = x^{1/2} \cdot 4x^1 = 4x^{1/2 + 1} = 4x^{3/2} \)

Теперь найдём производную функции \( f(x) \) по правилу дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

\[ f'(x) = \left( 4x^{3/2} \right)' = 4 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = 6x^{1/2} = 6\sqrt{x} \]

Теперь найдём значение производной в точке \( x=4 \):

\[ f'(4) = 6\sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12 \]

Ответ: 12