Найди f'(2), если f(x) = (4x – 5)³.

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (4x - 5)^3 \) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = 4x - 5 \). Тогда \( f(x) = u^3 \).

Производная \( f'(x) \) будет равна:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - 5)^3 \]

Применяем правило дифференцирования степенной функции \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \):

\[ f'(x) = 3(4x - 5)^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(4x - 5) \]

\[ f'(x) = 3(4x - 5)^2 \cdot (4) \]

\[ f'(x) = 12(4x - 5)^2 \]

Теперь найдём значение производной в точке \( x = 2 \):

\[ f'(2) = 12(4 \cdot 2 - 5)^2 \]

\[ f'(2) = 12(8 - 5)^2 \]

\[ f'(2) = 12(3)^2 \]

\[ f'(2) = 12 \cdot 9 \]

\[ f'(2) = 108 \]

Ответ: 108.